統計検定2級公式チートシート

「暗記しておかないと解けない」内容を出題頻度順にまとめたもの。過去問の解説中のポイント欄と対応している。

1. 記述統計（毎回2〜3問）

項目	公式	注意
分散	$s^{2} = \frac{1}{n} \sum {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	不偏分散は n−1 で割る。問題文の定義に従う
変動係数	$CV = s / \bar{x}$	単位に依存しない。定数倍しても不変
共分散	$s_{xy} = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	Cov(aX, bY) = ab·Cov(X,Y)
相関係数	$r = \frac{s_{xy}}{s_{x} s_{y}}$	−1 ≤ r ≤ 1。1次変換で不変（符号は傾きの符号に従う）
回帰係数	$b = \frac{s_{xy}}{s_{x}^{2}} = r \frac{s_{y}}{s_{x}}, a = \bar{y} - b \bar{x}$	回帰直線は必ず (x̄, ȳ) を通る。単回帰では R² = r²
標準化	$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$ 、偏差値 = 50 + 10z	平均0・分散1。1次変換（傾き正）で不変
1次変換 Y = aX + b	平均 a·x̄ + b、標準偏差 \|a\|·s、分散 a²s²	定数 b は散らばりに無関係

箱ひげ図 箱＝Q1〜Q3（長さ＝IQR）、中線＝中央値、ひげ＝1.5×IQR 以内の最小/最大、○＝外れ値。外れ値も実データなので範囲・最大値には含む。ひげの端≠最大値。

平均の種類 変化率・成長率の平均は幾何平均（累乗根）、速度の平均は調和平均。右に裾が長い分布では平均 > 中央値 > 最頻値。

時系列 季節周期 k のデータのコレログラムはラグ k, 2k で正のピーク、k/2 で負。傾向変動・季節変動・循環変動・不規則変動。変化率の平均 r は

{(1 + r)}^{n} = x_{n} / x_{0}

。

偏相関係数

r_{xy \cdot z} = \frac{r_{xy} - r_{xz} r_{yz}}{\sqrt{(1 - r_{xz}^{2}) (1 - r_{yz}^{2})}}

。第3の変数 z の影響を除いた直線的関係。相関 > 偏相関なら z を共通要因とする擬相関が含まれる。

2. 確率（毎回2問）

項目	公式
加法定理	$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
条件付き確率	$P (A \| B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$
全確率の公式	$P (B) = \sum P (A_{i}) P (B \| A_{i})$
ベイズの定理	$P (A_{i} \| B) = \frac{P (A_{i}) P (B \| A_{i})}{\sum P (A_{j}) P (B \| A_{j})}$
独立	$P (A \cap B) = P (A) P (B)$ 　／　排反: $P (A \cap B) = 0$

解き方 樹形図 → 同時確率の表（4マス）→ 分母は「判明した事象」の全確率。独立と排反は（確率0の事象を除き）両立しない。

3. 確率変数・期待値・分散

公式	備考
$E [a X + b] = a E [X] + b$
$V [a X + b] = a^{2} V [X]$	定数は消える
$V [X] = E [X^{2}] - {(E [X])}^{2}$	E[X²] を求める問題で逆に使う
$Cov [X, Y] = E [X Y] - E [X] E [Y]$
$V [a X + b Y] = a^{2} V [X] + b^{2} V [Y] + 2 a b \cdot Cov [X, Y]$	独立なら Cov = 0。X−Y でも分散は「＋」
$E [X] = \int x f (x) d x, P (a < X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$	積分の中は密度 f。分布関数 F ではない

打ち切り分布 ある値を超えたら固定値に潰すと、固定値に点質量ができ分布関数がジャンプする。固定値が最小側なら F は全体がかさ上げ、分位点は手前にずれる。期待値は連続部分の ∫x f(x)dx ＋点質量の値×確率。

歪度・尖度 歪度 = E[((X−μ)/σ)³]：右に裾が長い → 正。平均の符号とは無関係。尖度は正規分布を基準（正規分布 = 3、または 0）。

4. 主要な確率分布（期待値・分散を暗記）

分布	E[X]	V[X]	用途・覚え方
二項分布 B(n, p)	np	np(1−p)	成功回数。n 大なら正規近似
ポアソン分布 Po(λ)	λ	λ	まれな事象の回数。E = V が特徴
幾何分布 Ge(p)	1/p	(1−p)/p²	初成功までの試行回数。無記憶性
一様分布 U(a, b)	(a+b)/2	(b−a)²/12
指数分布 Ex(λ)	1/λ	1/λ²	待ち時間。無記憶性
正規分布 N(μ, σ²)	μ	σ²	±1σ: 68%、±2σ: 95%、±3σ: 99.7%

正規分布の再生性 独立な X ~ N(μ₁, σ₁²), Y ~ N(μ₂, σ₂²) に対し X + Y ~ N(μ₁+μ₂, σ₁²+σ₂²)。

標本平均の分布

\bar{X} \sim N (μ, σ^{2} / n)

、標準誤差

σ / \sqrt{n}

。中心極限定理：母集団が何であれ n が大きければ X̄ は正規分布に近づく。標本比率

\hat{p} \approx N (p, p (1 - p) / n)

。

標本分布 σ未知で S² を使う →

\frac{\bar{X} - μ}{S / \sqrt{n}} \sim t (n - 1)

。分散 →

\frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

。分散の比 → F(n₁−1, n₂−1)。

5. 推定（毎回2問）

対象	95%信頼区間	備考
母平均（σ既知）	$\bar{x} \pm 1.96 \cdot σ / \sqrt{n}$
母平均（σ未知）	$\bar{x} \pm t_{0.025} (n - 1) \cdot s / \sqrt{n}$	付表2
母比率	$\hat{p} \pm 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}$	p̂ を使う（検定は p₀）
母分散	$\frac{(n - 1) s^{2}}{χ_{0.025}^{2}} \leq σ^{2} \leq \frac{(n - 1) s^{2}}{χ_{0.975}^{2}}$	上側点が左に来る

暗記必須の数値 z(0.05)=1.645、z(0.025)=1.96、z(0.005)=2.576。90%→1.645、95%→1.96、99%→2.576。

必要標本サイズ 幅 w（±の半幅は w/2）:

n \geq {(\frac{1.96 \cdot σ}{w / 2})}^{2}

。比率で事前情報なしは p=0.5（p(1−p)=0.25 が最大）。信頼区間の幅は 1/√n に比例 → 幅を半分にするには n を4倍。

不偏性・一致性 不偏 = E[θ̂] = θ。一致 = n→∞ で θ̂ → θ（分散 → 0）。一部のデータしか使わない推定量（例 (X₁+Xₙ)/2）は不偏だが一致ではない。

6. 仮説検定（毎回3〜4問・最頻出）

検定	統計量	分布・自由度
母平均（σ既知）	$z = \frac{\bar{x} - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}$	N(0,1)
母平均（σ未知）	$t = \frac{\bar{x} - μ_{0}}{s / \sqrt{n}}$	t(n−1)
母比率	$z = \frac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{p_{0} (1 - p_{0}) / n}}$	N(0,1)。分母は帰無仮説の p₀
2標本の平均差（等分散）	$t = \frac{{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}}{\sqrt{s_{p}^{2} (\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}})}}$ 、 $s_{p}^{2} = \frac{(n_{1} - 1) s_{1}^{2} + (n_{2} - 1) s_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}$	t(n₁+n₂−2)
対応のあるデータ	差 d をとって1標本 t 検定	t(n−1)
母分散	$χ^{2} = \frac{(n - 1) s^{2}}{σ_{0}^{2}}$	χ²(n−1)
分散の比	$F = s_{1}^{2} / s_{2}^{2}$	F(n₁−1, n₂−1)。下側点は $1 / F_{α} (n_{2} - 1, n_{1} - 1)$
適合度・独立性	$χ^{2} = \sum \frac{{(観測 - 期待)}^{2}}{期待}$	適合度: カテゴリ数−1。独立性: (行−1)(列−1)、期待度数 = 行計×列計/総計

考え方 帰無仮説は必ず等号、対立仮説に示したい主張。「増える／減る」→片側（上側 α 点）、「異なる」→両側（上側 α/2 点）。第1種の過誤 α（H₀ 正しいのに棄却）、第2種の過誤 β（H₀ 誤りなのに採択）、検出力 1−β。p値 < α で棄却。棄却されない ≠ H₀ が正しい（「差があるとは言えない」が正しい言い方）。n を増やすと検出力は上がる。

7. 回帰分析・分散分析（毎回2〜3問）

出力項目	意味
Estimate	係数。偏回帰係数は「他の変数を一定として1単位増えたときの変化」
Std. Error	係数の標準誤差
t value	= Estimate ÷ Std.Error。自由度 n − (説明変数の数) − 1
Pr(>\|t\|)	両側 p 値。片側はその半分
Residual standard error	σ̂ = √(残差平方和 / 自由度)
Multiple R-squared	決定係数。変数を増やすと必ず増える
Adjusted R-squared	$1 - (1 - R^{2}) \frac{n - 1}{n - k - 1}$ 。単回帰でも R² と異なる。モデル比較はこちら
F-statistic	「定数項を除くすべての係数が0」の検定。F(k, n−k−1)

OLS の性質 残差の和は0、予測値の平均 = y の平均、回帰直線は (x̄, ȳ) を通る、y = ŷ + e。ダミー変数は基準カテゴリを1つ落とす（全部入れると多重共線性＝ダミー変数の罠）。対数モデル log y = a + b log x なら b は弾力性（%解釈）。

一元配置分散分析 総平方和 = 水準間平方和 + 残差平方和。自由度: 水準間 k−1、残差 N−k、合計 N−1。平均平方 = 平方和 ÷ 自由度、F = 水準間平均平方 ÷ 残差平均平方 ~ F(k−1, N−k)。H₁ は「少なくとも1つ異なる」（「すべて異なる」は誤り）。F 検定は常に右片側。

8. その他（1問ずつ程度）

項目	要点
標本抽出法	単純無作為／層化（層ごとに抽出）／集落=クラスター（選んだ集落は全数）／系統（等間隔）／多段（段数を増やすと精度は下がる）
フィッシャーの3原則	無作為化（系統誤差→偶然誤差）／反復（同条件に複数の実験単位）／局所管理（ブロック内を均質に）
研究デザイン	観察研究 vs 実験研究、交絡、擬相関、無回答バイアス（有効回答数を増やしても解消しない）
チェビシェフの不等式	$P (\| X - μ \| \geq k σ) \leq 1 / k^{2}$
大数の法則	n→∞ で標本平均は母平均に確率収束（一致性の根拠）
ローレンツ曲線・ジニ係数	累積相対度数のプロット。ジニ係数 = 対角線との間の面積 × 2（0=完全平等）

統計検定2級　公式チートシート

1. 記述統計（毎回2〜3問）

2. 確率（毎回2問）

3. 確率変数・期待値・分散

4. 主要な確率分布（期待値・分散を暗記）

5. 推定（毎回2問）

6. 仮説検定（毎回3〜4問・最頻出）

7. 回帰分析・分散分析（毎回2〜3問）

8. その他（1問ずつ程度）

記述Ⅰ〜Ⅲ問題で「誤り」の合図になる言い回し

統計検定2級 公式チートシート

1. 記述統計（毎回2〜3問）

2. 確率（毎回2問）

3. 確率変数・期待値・分散

4. 主要な確率分布（期待値・分散を暗記）

5. 推定（毎回2問）

6. 仮説検定（毎回3〜4問・最頻出）

7. 回帰分析・分散分析（毎回2〜3問）

8. その他（1問ずつ程度）

記述Ⅰ〜Ⅲ問題で「誤り」の合図になる言い回し

統計検定2級　公式チートシート