統計検定2級　2018年11月　問題・正解・解説

正解：⑤

考え方：相対度数分布表は各年の列の合計が 100% になる。各列で空欄以外を合計し、100 から引けば空欄が求まる。

計算：

（ア）は1985年の列である。

（イ）は2017年の列である。

よって（ア）12.8、（イ）4.3 の ⑤ である。

検算：都道府県数は1952年が 46（沖縄返還前）、1985年・2017年が 47 である。1都道府県分の相対度数は 1/46 = 2.17% ≈ 2.2%、1/47 = 2.13% ≈ 2.1% で、表の「2.2」「2.1」と合う。（ア）12.8% は 6/47 = 12.77%、（イ）4.3% は 2/47 = 4.26% にあたり、2017年の列は 36 + 8 + 2 + 1 = 47 都道府県で辻褄が合う。

誤答の見分け方：①②③は（ア）を 2.1 や 4.3 としているが、1985年の列は 85.1 + 2.1 = 87.2 なので残りは 12.8 でなければ 100 にならない。④は（イ）に 2.1 を入れているが、2017年の列は 76.6 + 17.0 + 2.1 = 95.7 で残り 4.3 である。

正解：①

考え方：相対度数分布表から各年の「最大値が入る階級」を読み取り、箱ひげ図の最大の外れ値と突き合わせる。これだけで3つの年が確定する。

手順：

よって 1952年: A、1985年: B、2017年: C の ① である。

別の確認：20校未満の割合が 97.8% → 85.1% → 76.6% と年を追って減っており、大学数は全体に増えている。中央値も箱の幅も A < B < C なので、古い年ほど小さい A、新しい年ほど大きい C という対応と一致する。

誤答の見分け方：②〜⑤はいずれも「大学数が年とともに増える」という表の傾向（最大値・中央値の順序）と矛盾する。

正解：③

考え方：〔2〕で 1952年 = A、1985年 = B、2017年 = C と決まったので、A・B・C の箱の幅（四分位範囲）・最大値・中央値を比べる。

Ⅰ（誤り）：四分位範囲は箱の縦の長さである。A は約 3 − 1 = 2、B は約 9 − 3 = 6、C は約 17 − 6 = 11 で、年を追うごとに大きくなっている。「小さい」は逆である。

Ⅱ（誤り）：最大値は最も上の外れ値で、1952年（A）が約 73、1985年（B）が約 102 である。

1952年の最大値は 1985年の最大値の半分より大きいので誤り。図を読まなくても、表から 1952年の最大値は 60 以上、1985年の最大値は 120 未満（半分は 60 未満）とわかるので、「半分以下」は成り立たない。

Ⅲ（正しい）：中央値は箱の中の線で、A ≈ 2、B ≈ 5、C ≈ 9 と年を追って大きくなっている。

よってⅢのみ正しく、③。

正解：①

考え方：相関係数は「直線的な関係の強さ」を測る無単位の指標である。山型のような非直線の関係は相関係数では捉えきれないこと、相関係数は回帰直線の傾きではないこと、の2点で各記述を判定する。

Ⅰ（正しい）：絶対値は 男性・正社員 0.58 < 男性・正社員以外 0.80 で、正社員の方が小さい。一方で図を見ると、男性・正社員は 50-54歳まで直線的に上がり 60歳以降に急落する山型で、年齢と賃金の関係自体はむしろ強い。山型は「上がる部分」と「下がる部分」が打ち消し合って相関係数を小さくするので、相関係数だけで関係の強弱を判断してはいけない、という記述は妥当である。

Ⅱ（誤り）：女性・正社員は 20歳〜54歳の範囲では賃金がほぼ単調に上昇（約 20 → 30 万円）しており、右上がりの直線に近い。相関係数を下げていた 55歳以降の「下がる部分」を除くと、直線への当てはまりが良くなり相関係数は 0.56 より大きくなる。「小さくなる」は逆である。

Ⅲ（誤り）：「1歳上がると 0.46 万円下がる」は回帰直線の傾き（回帰係数）の解釈である。相関係数 −0.46 は単位をもたない値で、傾きは

のように標準偏差の比を掛けて初めて求まる。相関係数の値から傾きは読み取れない。

よってⅠのみ正しく、①。

正解：①

考え方：前月比の変化率は「（今月 − 前月）／前月」である。2017年1月の変化率が 4.98% なので、2016年12月の値（ア）を x とおいて方程式を立てる。

計算：

検算：106.4 × 1.0498 = 111.70 で 2017年1月の値に戻る。よって ①。

誤答の見分け方：⑤ 117.3 は 111.7 × 1.0498 と「掛けて」しまった値（前月ではなく翌月を求めている）。④ 116.7 は 111.7 + 4.98、② 106.7 は 111.7 − 4.98 で、%（比率）をポイント（差）として足し引きした値。「変化率の分母は前月」なので、前月を求めるときは割り算になる。

正解：④

考え方：3項移動平均は、その時点を中心とした前後1つずつ、計3つの値の単純平均である。2017年10月なら 9月・10月・11月の3つを使う。

計算：

よって ④。

誤答の見分け方：① は 7月・10月・12月と、連続しない月を拾っている。⑤ は 8月〜12月の5つの単純平均で、これは5項移動平均。②③ は重みを付けた平均で、単純な3項移動平均ではない（③のような 1:2:1 の重みは「2項移動平均をさらに2項移動平均した中心化移動平均」に相当するが、問題は3項移動平均を聞いている）。

正解：②

考え方：ラスパイレス価格指数は「基準年の数量」を固定し、価格だけを比較年に置き換えた指数である。基準年を 0、比較年を t、価格を p、数量を q とすると

分母は基準年の価格 × 基準年の数量、分子は比較年の価格 × 基準年の数量である。

計算式の組み立て：基準年 2016年の数量は 梨 3827、ぶどう 2422。これを分母・分子の両方で使う。

これは ② の式である。参考までに値を求めると

で、2016年に比べ価格水準が約 4.9% 上がったことを意味する。

誤答の見分け方：数量の添字がどの年かを見る。

正解：③

考え方：単純無作為抽出と層化抽出の定義・性質を正確に思い出す。Ⅱは「かかわらず」のような無条件の言い回しが疑わしい。

Ⅰ（正しい）：大きさ $N$ の母集団から大きさ $n$ の非復元単純無作為抽出を行うとは、$n$ 個の組合せ $\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)$ 通りのどれもが等しい確率で選ばれる抽出のことである。これが定義であり、その結果として各個体が選ばれる確率も $n/N$ で等しくなる。「各個体の確率が等しい」だけでは単純無作為抽出とは限らない（系統抽出でも各個体の確率は等しい）ので、組の確率まで等しいという記述が正しい。

Ⅱ（誤り）：層化抽出で推定量の分散が小さくなるのは、層内が均質で、各層への標本の割り当て（配分）が適切な場合である。比例配分（層の大きさに比例して割り当てる）であれば単純無作為抽出以下の分散になるが、たとえば大きな層に極端に少ない標本しか割り当てないような配分では、単純無作為抽出より分散が大きくなることもある。「各層からの標本サイズにかかわらず」が誤り。

Ⅲ（正しい）：単純無作為抽出では標本がどの層から何個出るかは偶然に任される。小さな層は標本に1つも入らないことがありうる。これを避けて全層からデータを確保するのが層化抽出の動機の一つである。

よってⅠとⅢが正しく、③。

正解：②

考え方：「まず大きな単位（市区町村）を無作為に選び、次に選ばれた単位の中から小さな単位（世帯）を無作為に選ぶ」と、無作為抽出を2段階に分けて行っている。これが二段抽出である。

各方式との違い：

誤答の見分け方：③ 集落抽出と迷いやすいが、集落抽出は選ばれた集落を全数調査する。本問は「抽出された市区町村から世帯を無作為に抽出」しているので二段抽出。④ 層化抽出は層（市区町村）を抽出せず全層から標本を取る点で異なる。

正解：②

考え方：箱は「工場A産」か「工場B産」のどちらかである（排反で、合わせて全体）。カモノハシ入りの確率は、工場ごとの確率を仕入れ割合で重み付けして足す（全確率の公式）。

記号を決める。$A$：工場A産、$B$：工場B産、$K$：カモノハシ入り。

計算手順

よって②。

誤答の見分け方

正解：②

考え方：「カモノハシ入りだった」という結果を見て「工場Aだった」確率を問う、典型的なベイズの定理（原因の確率）の問題である。求めるのは条件付き確率 $P\left(A\right|K)$ で、分母は〔1〕で求めた $P\left(K\right)$、分子はそのうち工場A経由の部分になる。

計算手順

よって②。

直感的な確認：仕入れ割合だけ見れば工場Aは70%だが、カモノハシ入りは工場Bのほうが4倍出やすい。「カモノハシ入り」という情報で工場Aの確率が 0.7 から 0.368 に下がるのは自然である。

誤答の見分け方

正解：④

考え方：$x$ は定数なので、$Y$ は標準正規変数 $U$ を $0.3+2x$ だけ平行移動したもの、すなわち $Y\sim N(0.3+2x,1)$ である。条件 $Y\ge 0$ を $U$ の条件に書き換え、標準正規分布表で境界値を引く。

計算手順

条件を $U$ について整理する。

したがって求める条件は

標準正規分布で「上側確率が 0.95」となる点は「上側確率 0.05 の点」の符号を変えたものである。付表1より $Q\left(1.64\right)=0.0505$、$Q\left(1.65\right)=0.0495$ なので、上側5%点は $z_{0.05}=1.645$。よって $P(U\ge -1.645)=0.95$ である。

よって④。

検算：x=0.67 のとき Y の平均は 0.3+1.34=1.64。平均1.64、標準偏差1の正規分布で 0 以上となる確率は、0 が平均から 1.64σ 下にあるので約 0.95 になる。

誤答の見分け方

正解：①

考え方：$Y$ の上側5%点とは $P(Y\ge y)=0.05$ となる $y$ のことである。〔1〕と同じく $Y$ の分布を $U$ の平行移動として捉えると、上側5%点も同じ量だけ平行移動する。

計算手順

付表1より標準正規分布の上側5%点は 1.645 なので

すなわち上側5%点は $x$ の1次関数（傾き 2、切片 1.945）である。x=−2 で −2.055、x=2 で 5.945 となり、図①の直線と一致する。

誤答の見分け方

正解：②

考え方：各回「2以下の目が出る」確率は $2/6=1/3$ で、7回は独立なので $X\sim B(7,1/3)$ である。二項分布の確率関数を書いて隣り合う項の比をとると、階乗が大部分約分される。

計算手順

比をとる。組合せの部分と確率の部分に分けて約分する。

ここで $(7-x)!/(6-x)!=7-x$、$x!/(x+1)!=1/(x+1)$ を使った。問題の形 $(-x+a)/(2x+b)$ と比べて $a=7$、$b=2$。よって②。

検算：x=0 で比は 7/2=3.5。直接計算すると $P(X=0)={(2/3)}^7$、$P(X=1)=7\times (1/3){(2/3)}^6$ で、比は $7\times (1/3)/(2/3)=3.5$ で一致する。

誤答の見分け方：x=0 の比は「7回のうち1回だけ成功」÷「0回成功」＝ 7×(p/(1−p)) = 7/2 = 3.5 でなければならない。① は 5/3、③ は 9/3=3、④ は 9/5、⑤ は 9/7 で、いずれも合わない。

正解：②

考え方：〔1〕の比が 1 より大きい間は確率が増え続け、1 より小さくなった時点から減る。比が 1 をまたぐ境目が最頻値である。

計算手順

比が 1 以上となる条件を解く。

実際に比を並べる。

x=1 までは増加、x=2 から減少に転じるので、$P(X=x)$ は $x=2$ で最大になる。よって②。

検算：二項分布の最頻値は $(n+1)p=8\times 1/3=2.67$ の整数部分 2 で一致する。また期待値 $np=7/3=2.33$ のすぐ近くにあるのも妥当である。

誤答の見分け方：③ 3 は期待値 2.33 を四捨五入した値だが、最頻値は期待値の丸めではない。比の表で P(3)/P(2)=5/6<1 を確認すれば除外できる。

正解：③

考え方：期待値の線形性と、独立な確率変数の和の分散の性質を使う。定数倍の扱いが期待値（1乗）と分散（2乗）で異なる点がこの問題の核心である。

計算手順

期待値：定数 1/n はそのまま外に出せ、和の期待値は期待値の和になる（独立でなくても成り立つ）。

分散：定数倍は2乗して外に出る。独立なので和の分散は分散の和になる。

よって（ア）$\mu$、（イ）${\sigma }^2/n$ の③。

誤答の見分け方

正解：①

考え方：正規分布は平均について左右対称なので奇数次の中心モーメントはすべて 0、よって歪度は 0 である。尖度の定義に「−3」がついているのは、正規分布の ${\mu }_4/{\sigma }^4$ がちょうど 3 であり、正規分布を基準（尖度 0）にするためである。

確認

正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ について

よって①。

誤答の見分け方：対称な分布の歪度は必ず 0 なので④⑤は即除外。②③は「−3 の意味」を知らないと迷うが、定義に −3 が入っているのは正規分布を 0 にする補正だと覚えておく。

正解：⑤

考え方：$U(-1,1)$ は 0 について対称なので歪度は 0 で、選択肢は④⑤に絞られる。尖度は ${\sigma }^2$ と ${\mu }_4$ を積分で求めて定義式に代入する。密度関数は区間 $[-1,1]$ 上で $f\left(x\right)=1/2$ である。

計算手順

平均は対称性より $\mu =0$。したがって中心モーメントは原点まわりのモーメントに等しい。

分散（2次モーメント）：

3次モーメント：被積分関数 $x^3$ は奇関数なので対称区間での積分は 0。

4次モーメント：

尖度：${\sigma }^4={(1/3)}^2=1/9$ なので

よって歪度 0、尖度 −1.2 の⑤。

直感的な確認：一様分布は中心が平坦で裾がない（有限区間で切れる）ので、正規分布より「尖っていない・裾が短い」。尖度は負になるはずである。

誤答の見分け方

正解：⑤

考え方：歪度の符号と裾の向き、尖度の符号と分布の形、t 分布の性質を一つずつ確認する。3つとも「正しい記述の逆」を書いた文になっている。

Ⅰ（誤り）：右に裾が長い分布では、平均より右側に大きく離れた値があり、${(X-\mu )}^3$ の正の寄与が大きくなるので歪度は正になる。左に裾が長ければ負。記述は符号が逆である。例：所得分布は右に裾が長く、歪度は正。

Ⅱ（誤り）：〔2〕で見たとおり、中心部が平坦で裾が短い一様分布の尖度は −1.2 で負。逆に尖っていて裾の長い分布（t 分布など）は ${(X-\mu )}^4$ の裾の寄与が大きく、尖度は正。記述は符号が逆である。

Ⅲ（誤り）：前半「t 分布は対称なので歪度 0（ν>3 で存在）」は正しい。しかし後半が誤り。自由度 ν の t 分布の尖度は

であり、ν が大きくなるほど 0 に近づく（ν=5 で 6、ν=10 で 1、ν=∞ で 0）。t 分布は自由度が大きいほど正規分布に近づくのだから、尖度の絶対値は小さくなる。記述は逆である。公式を知らなくても「自由度∞ = 正規分布 = 尖度 0」から判断できる。

以上よりⅠ〜Ⅲはすべて誤りで⑤。

正解：②

考え方：母比率 $p$ の信頼区間の問題。標本比率 $\widehat{p}=0.020$、標本サイズ $n=1338$（送付数 2067 ではなく回答数を使う）。標本比率は近似的に正規分布 $N(p,p(1-p)/n)$ に従うので、95%信頼区間は

で求める。付表1より $Q\left(1.96\right)=0.0250$ なので $z_{0.025}=1.96$。

計算手順

よって 95%信頼区間は $0.020\pm 0.008$、すなわち約 (0.012, 0.028) で②。

暗算のコツ：$\sqrt{0.0196}=0.14$、$\sqrt{1338}\fallingdotseq 36.6$ なので標準誤差は $0.14/36.6\fallingdotseq 0.0038$。その約2倍で 0.0076。

誤答の見分け方

正解：④

考え方：母分散 σ² は未知で、手元にあるのは不偏分散 S² = 121.9。正規母集団・σ 未知なので 1標本 t 検定（自由度 n − 1 = 19）を使う。分母は「標本平均の標準誤差」$S/\sqrt{n}$ であって S そのものではない。

計算：

（ア）検定統計量

（イ）両側5%の棄却域は、自由度19の t 分布の上側2.5%点を使い、付表より $t_{0.025}\left(19\right)=2.093$。よって棄却域は |t| > 2.093。

（ウ）|t| = 1.78 < 2.093 なので棄却域に入らない。帰無仮説を棄却しない。

誤答の見分け方：

正解：⑤

考え方：2つの正規母集団の分散の比の検定（等分散検定）。帰無仮説 ${\sigma }_A^2={\sigma }_B^2$ の下で、不偏分散の比

は自由度 $(n_A-1,n_B-1)$ の F 分布に従う。分子の自由度が第1自由度、分母の自由度が第2自由度である。

計算：

よって ⑤。なお F 分布の自由度が (29, 30) になる理由は、$(n-1)S^2/{\sigma }^2$ が自由度 n − 1 のカイ二乗分布に従い、F 分布は「(カイ二乗 ÷ 自由度) の比」として定義されるからである。

誤答の見分け方：①は標本サイズをそのまま自由度にしている。③は自由度を分子・分母で取り違えたうえに標本サイズをそのまま使っている。④は分母側だけ n + 1 になっており根拠がない。

正解：④

考え方：第一種の過誤とは「H₀ が正しいのに H₀ を棄却してしまう」こと。H₀（分散がすべて等しい）が正しいとき、3つの個別検定はそれぞれ確率0.05で誤って棄却する。「どれか1つでも棄却されれば H₀ を棄却」なので、求める確率は「3つのうち少なくとも1つが棄却される確率」。余事象「3つとも棄却されない」から求める。

計算：3つの検定は独立なので、

よって ④。

誤答の見分け方：②の0.05は「個別の検定の有意水準」であって、3回繰り返した全体の第一種過誤ではない。⑤の0.18は単純に 0.05 + 0.05 + 0.05 = 0.15 でもなく、近い値だが 3 × 0.05 = 0.15 を超えることはない（和の上界）。③の0.10は2回分の誤り。

正解：③

考え方：「200個それぞれが独立に確率0.05で不良品になる」→ 不良品の個数 X は試行回数 n = 200、成功確率 p = 0.05 の二項分布 B(200, 0.05) に従う。

計算：

よって ③。

誤答の見分け方：ポアソン分布（①②）は「n が大きく p が小さいときの二項分布の近似」として使えるが、X が「従う分布」そのものではない。しかもポアソン分布なら平均＝分散になるので、①の「平均9.5」は np と矛盾する。④は二項分布なのに分散を np としており、(1 − p) を掛け忘れている。⑤の幾何分布は「初めて不良品が出るまでの回数」の分布で、不良品の個数ではない。

正解：②

考え方：母比率の片側検定。帰無仮説の下で X ～ B(200, 0.05)、平均10、分散9.5（〔1〕の結果）。n が大きいので正規近似し、標準化した z の上側確率を付表から読む。対立仮説が r > 0.05 なので片側（上側）の P-値になる。

計算：

比率の形で書いても同じ値になる：

付表より、標準正規分布の上側確率は Q(1.94) = 0.0262、Q(1.95) = 0.0256。したがって P-値 ≈ 0.026 で ②。

誤答の見分け方：⑤の0.52は両側にした 2 × 0.026 = 0.052 の桁違い、④の0.26は 0.026 の桁違い。片側検定なので 2 倍しない。①の0.001は z ≈ 3 に相当し、分母を √(0.05 × 0.95) などにしたときの値に近い。

正解：⑤

考え方：2つの母比率の差の検定。帰無仮説「d = 0（両社の不良品率は等しい）」の下では共通の比率 p を仮定できるので、2標本を合わせたプール比率 p̂ で標準誤差を作る。対立仮説が d ≠ 0 なので両側の P-値。

計算：

標本比率：

プール比率：

標準誤差：

検定統計量：

付表より Q(0.18) = 0.4286。両側なので

よって ⑤。両社の不良品率にはほとんど差がない（16個と17個）ので、P-値が 1 に近くなるのは直感とも合う。

誤答の見分け方：③の0.45は片側の値（両側にし忘れ）。①〜②のような小さい値は、差 0.005 に対して標準誤差 0.0275 が大きいことを考えると出てこない。「不良品数の差が1個」で有意になるはずがない、という感覚も持っておく。

正解：①

考え方：適合度検定の統計量は「（観測度数 − 期待度数）² ÷ 期待度数」を全カテゴリで足したもの。帰無仮説「曜日に依存しない」の下では6曜日の期待度数はすべて等しい。

計算：期待度数

期待度数がすべて17なので、分母17でまとめて割れる。金・土は同じ16件なので 2 × (16 − 17)² とまとめてある。これが ①。

値を出すと

誤答の見分け方：②④は分母を 17² にしており、統計量の定義と違う（分母は期待度数の1乗）。③は展開形として見ると $\sum O_i^2/E-n$ が正しい形で、分子の引く項は 6 × 17² = 102 × 17 でなければならず、6 × 17 では合わない（計算すると 98.59 と異常に大きい）。⑤は分母が総数102になっている。

正解：③

考え方：適合度検定の自由度は「カテゴリ数 − 1」。カテゴリは月〜土の6つなので自由度は 6 − 1 = 5。総数102という制約（度数の合計が固定）で自由度が1減る。

計算：〔1〕の正解①の値は χ² ≈ 2.59。付表より自由度5のカイ二乗分布の上側5%点は

棄却域に入らないので帰無仮説は棄却しない。「発生率が曜日に依存しない」という仮説は否定できない。よって ③。

誤答の見分け方：④⑤はカテゴリ数をそのまま自由度にしている。①の自由度1は 2 × 2 分割表のときの値。②は自由度は正しいが、2.59 は 11.07 よりはるかに小さいので棄却されない。

正解：④

考え方：残差の自由度（Residual standard error の "on 52 degrees of freedom"）は「標本サイズ n − 推定した係数の数」。係数は定数項 α、β₁、β₂ の3つ。

計算：

よって ④。F-statistic の "on 2 and 52 DF" からも、回帰の自由度 k = 2、残差の自由度 52 が確認できる。

誤答の見分け方：①は残差自由度をそのまま国数と読んだもの。③は定数項を数え忘れて 52 + 2 としたもの。

正解：②

出力の読み方：

各記述の判定：

Ⅱのみ正しいので ②。

補足：指数表記の読み方は 1.137e+02 = 1.137 × 10² = 113.7、1.175e+01 = 11.75、6.617e-02 = 0.06617。桁を取り違えないよう慣れておく。

正解：④

考え方：偏回帰係数は「他の説明変数を一定としたときの、その変数1単位あたりの被説明変数の変化」。符号を見れば方向がわかる。Ⅲは推定式に値を代入する。

各記述の判定：

Ⅲの計算：

3つとも正しいので ④。

注意：Ⅲでは「log(1人当たりGDP) が10」と、対数を取った後の値が与えられている。GDP そのものが10ではないので、log を取り直す必要はない。log(gdp) = 10 は gdp = e¹⁰ ≈ 22,000 ドルに相当する。

正解：④

回帰表の読み方：

各記述の判定：

Ⅰの計算：

ⅠとⅢが正しいので ④。

補足：自由度調整済み決定係数を検算すると $1-(1-0.718)\times \frac{5-1}{5-1-1}=1-0.282\times 1.333=0.624$ で表と一致する。残差自由度が n − 2 = 3 であることの確認になる。

正解：⑤

考え方：係数の「大きさ」は変数の単位に依存するので、係数の絶対値で説明変数の要不要は判断できない。要不要は t-値・P-値で判断する。多重共線性は説明変数同士の相関が高いときに生じ、標本が小さいほど深刻になる。

各記述の判定：

すべて誤りなので ⑤。

正解：①

考え方：単回帰の係数 b は「x の効果 ＋ x と相関する z を経由した効果」をまとめて拾う。重回帰の偏回帰係数 b′ は「z を一定にした x だけの効果」。両者は一般に異なり、とくに x と z の相関が高いほど大きくずれる。

各記述の判定：

Ⅱのみ正しいので ①。

補足：単回帰と重回帰の係数の関係は、おおよそ b ≈ b′ + c′ × (z を x に回帰したときの傾き) で表される。z と x の相関が正で c′ > 0 なら、単回帰の b は z の効果を取り込んで大きめに出る。本問の 25.173 と −6.462 の差はこの効果である。