統計検定2級 2017年6月問題・正解・解説

全15問・解答番号1〜35。選択肢をクリックすると正誤判定され、「正解と解説」が開く。未解答のまま「正解と解説」を開くと不正解扱いになる。解答状態はこのブラウザに保存される。

この回の問題から見える「解き方のコツ」

1. 箱ひげ図・ヒストグラム・度数分布表は「端の値」と「累積度数」だけで決める（問1・問2）

「すべての都道府県で A は B より高い」型の記述は、A の最小値と B の最大値を比べる。問1〔1〕Ⅰは TV の外れ値（約88.5）と PC の最大値（約86.5）の比較で決まる。外れ値○もデータの一部なので、ひげの下端ではなく○の位置で判定する。
「上位10都道府県」は 47 の上位 1/4 未満なので第3四分位数より上の集団と読む。問1〔1〕Ⅱは PC の Q3（約78.5）と DVD/BD の最大値（約74.5）の比較で正しいと判定できる。
箱ひげ図とヒストグラムの対応づけ（問1〔2〕）は範囲（最小・最大が入る階級）→中央値の順に見る。MP は最大約76.5 だから 75〜80 に度数がある b、SP は最大約81 だから 80〜85 に度数がある a、と「最大値の階級」だけで確定する。
中央値・四分位数を含む階級（問2〔1〕〔2〕）は、合計 N から N/2、N/4、3N/4 を先に出し、上から累積度数を足して初めて超える階級を答える。茨城は 28840.5 番目で (D)、長野は 13306 番目で (B)・39918 番目で (D)。累積は下位2〜4階級で終わるので全部足す必要はない。
帯グラフの照合（問2〔3〕）は最下段（最小面積の階級）の相対度数だけ計算する。北海道は (A)+(B) が 3.4% で唯一の一桁台、秋田は 9.0%。1本目の帯で候補を絞ってから残りを確認する。

2. 伸び率・相関係数・回帰直線は「定義に戻す」と一発で決まる（問3〔1〕・問4〔1〕〔2〕）

前年同月比伸び率は $\frac{今年 - 前年}{前年}$ 。分母を今年（1668）にすると 40%（①）になる。選択肢の①は分母ミス、④・⑤は「差÷前年」ではなく別の年の値を使ったときに出る値である。
散布図の相関係数（問4〔1〕）は符号→大きさの順に絞る。右下がりなら負で ④⑤ に限定。−0.994 は点がほぼ直線上に乗る場合で、(109, 15.3) や (131, 12.9) のような直線から外れた点が2つ以上あれば −0.794 を選ぶ。
最小二乗の回帰直線（問4〔2〕）は必ず $(\bar{x}, \bar{y})$ を通り、直線の上下に点が同数程度に分かれる。高価格群だけを通る④や低価格群だけを通る①は「残差の和が0でない」ので除外できる。
コレログラム（問3〔3〕）は「増加トレンドあり → 自己相関がすべて正でゆっくり減衰」。月次データなら季節性の周期は12であり、周期4の④は四半期データでなければ現れない。

3. 自由度は「n − 推定したパラメータ数」で数える（問4〔3〕・問12〔4〕・問13〔2〕・問14〔2〕）

単回帰の傾きの t 検定は $t = \frac{\hat{β}}{SE}$ 、自由度は n − 2（切片と傾きの2つを推定）。問4〔3〕は 25 年分なので 23。選択肢の 24・25 は n−1、n の誤り、−5.27・−7.27 は計算ミスの誘導なので、自由度で ⑤ と決めてから割り算で確認すればよい。
F 統計量の自由度は「分子の不偏分散の自由度, 分母の不偏分散の自由度」の順。問12〔4〕は中学生（359人）を分子に置くので (358, 332)。n をそのまま使う (359, 333) や順序を入れ替えた組合せが並ぶので、問題文の「何を何で割った」を先に読む。
2×2 クロス表の独立性検定の自由度は (行−1)(列−1) = 1（問13〔2〕）。期待度数は $\frac{行計 \times 列計}{総計}$ で、問13〔1〕は 49×27/100 = 13.23。誤答の 13.77・35.77 は別のセルの期待度数、23.23・37.23 は観測度数との差し引きで出る値である。
一元配置分散分析（問14〔2〕）は群間自由度 = 群数 − 1 = 3、残差自由度 = n − 群数 = 16。合計 19 = n − 1 になることを検算する。(イ) 19 の選択肢は残差と全体を混同している。

4. 確率変数の和と差は「分散は足す・共分散は引く」（問6・問9・問10）

独立なら $V [X - Y] = V [X] + V [Y]$ 。問6の $\hat{b} = \frac{X - Y}{2}$ は分散 $\frac{σ^{2} + σ^{2}}{4} = \frac{σ^{2}}{2}$ 。①の σ²/4 は分子の分散を1つ分しか数えていない誤りである。
$U = X + Y$ 、 $V = X - Y$ のとき $Cov [U, V] = V [X] - V [Y]$ 、 $V [U] = V [V] = σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}$ （問9〔1〕）。分母は分散の積の平方根なので、⑤のように 2 が付く形は出ない。
正規分布に限り「無相関 ⇔ 独立」が成り立つ。問9〔2〕Ⅱの「σ₁² = σ₂² のときのみ独立」は正しい。U と V は平均0・分散 σ₁²+σ₂² の同じ正規分布で、Ⅰ・Ⅲも正しい。「〜のときのみ」が正しい記述になる珍しい例なので、反射的に誤りとしない。
標準正規分布の2乗和は χ² 分布。問10〔1〕の $P (W_{1} \geq w) = 0.05$ は χ²(1) の上側5%点 3.84 = 1.96²。①1.64・②1.96 は正規分布の分位点、③2.71 = 1.645² は上側10%点、⑤5.02 は上側2.5%点で、すべて表の隣の列の値である。
問10〔2〕は選択肢の n を小さい順に χ² 表で確かめるだけでよい。「2n ≥ χ²(n) の上側5%点」となる最小の n で、n=3 は 7.81 > 6 で不可、n=8 は 15.51 ≤ 16 で可。

5. 条件付き確率と「第 k 戦で終了」は式を書いてから数字を入れる（問7・問8）

問7は「同時確率（〔1〕）→ 全確率（〔2〕）→ ベイズ（〔3〕）」の3段構成。〔3〕は〔1〕÷〔2〕 = 0.04/0.061 = 0.656 で、前問の答えをそのまま使う。0.061 を 0.06 に丸めてから割ると 0.667 になり②のままなので問題ないが、途中は丸めずに持つ。
「第5局で A が勝って終了」は「4局目までに A が 3 勝 1 敗、かつ 5 局目に A が勝つ」。 $(\binom{4}{3}) {0.7}^{3} \times 0.3 \times 0.7 = 0.288$ 。最後の1局を組合せに含めて $(\binom{5}{3})$ にすると 0.72 と選択肢にない値になるので、その時点で気づける。
「第7局で終了」（問8〔2〕）は勝者を問わないので「6局終了時点で 3 勝 3 敗」の確率 $(\binom{6}{3}) {0.7}^{3} {0.3}^{3} = 0.185$ だけで足りる。7局目の確率 0.7 + 0.3 = 1 を掛け忘れても落とし穴にならないのがポイントである。

6. 信頼区間・必要標本サイズは「z 値・SE・中心」の3点をチェックする（問11・問12〔1〕〔2〕〔3〕）

相対誤差の条件は $1.96 \times \frac{σ / \sqrt{n}}{μ} \leq 0.05$ と書き、変動係数 $CV = σ / μ$ を代入して $n \geq {(\frac{1.96 \times 0.4}{0.05})}^{2} = 245.9$ 。「少なくとも」なので切り上げて 246 以上を満たす最小の選択肢 260 を選ぶ（切り捨てて 210 にしない）。90% 用の 1.645 を使うと 173 → 210 になり③に誘導される。
標準誤差は $s / \sqrt{n}$ （問12〔1〕）。分子に √ を付ける③や分母を n にする⑤は「分散 ÷ n の平方根」を途中で止めた形である。
信頼区間（問12〔2〕）は標本平均 8時間35分を中心に対称でなければならない。④ [8:16, 8:34] は中心が 8:25 で標本平均を含まないので計算前に除外できる。①②は SE ではなく標準偏差 62 分をそのまま掛けた幅（±122 分、±102 分）である。90% は 1.645 を使い、±1.645×3.40 = ±5.6 分 → ⑤。
問12〔3〕Ⅱ「95% 区間の幅は 90% より狭い」は逆（信頼係数を上げると幅は広がる）。Ⅲ「n を 1/3 にすると幅は 3 倍」は $\sqrt{3} \approx 1.73$ 倍が正しい。幅は √n に反比例する、を即答できるようにしておく。

7. 回帰出力・分散分析表・記述Ⅰ〜Ⅲは「符号」「対立仮説の言い回し」「因果の断定」を疑う（問3〔2〕・問5・問14〔1〕〔3〕・問15）

重回帰の予測値（問15〔1〕）はダミー変数の係数を忘れずに足す。31.9271 + 0.3038×28 = 40.4（④）はダミー抜きの値で、−4.4339 を加えて 36.0（②）が正しい。
「有意に正」（問15〔2〕）は「p 値 < 0.05 かつ係数の符号が正」の2条件。β₂ は p = 2.77e−06 で有意だが負なので除外し、切片 α（t = 11.4）を落とさない。③ α, β₁ が答え。
結果の解釈（問15〔3〕）は被説明変数が何かを固定してから読む。Theoretical の係数が負 → 理論研究者は最盛期年齢が低い（早く最盛期に達する）。①のように「博士号取得年齢」を被説明変数にした主張は、このモデルからは何も言えない。
分散分析表の穴埋め（問14〔2〕）は F > 1 でなければ P 値 0.0405 と整合しない。(オ) が 0.28〜0.38 の選択肢は平均平方の分子・分母を逆にしたもので、自由度の確認なしに切れる。20 店舗全体の不偏分散（問14〔1〕）は $\frac{群間平方和 + 残差平方和}{n - 1} = \frac{0.5574}{19} = 0.0293$ で、残差の平均平方 0.0211 ではない。
分散分析の対立仮説は「少なくとも1つは異なる」。「すべてが異なる」と書かれた選択肢（問14〔3〕③④）は結論の文言に関係なく誤り。P = 0.0405 < 0.05 なので棄却して①。
記述Ⅰ〜Ⅲで誤りの合図になる言い回し: 「〜が理由である」（問3〔2〕Ⅲ、伸び率の差を水準差の因果で説明）、「季節性があるので前期比」（問3〔2〕Ⅰ、季節性の除去には前年同月比が適切）、「段数が増えるほど精度が高い」「必ず精度は向上する」「街頭で乱数表を使えば単純無作為抽出」（問5）。正しい選択肢は「節約できるが精度は落ちることがある」のように留保付きで書かれている。

問1（解答番号 1・2）

次の箱ひげ図は、47都道府県別の「パソコン」（以下、PC）、「携帯電話（PHSを含む）」（以下、MP）、「スマートフォン」（以下、SP）、「テレビ（デジタル放送対応）」（以下、TV）および「DVD・ブルーレイディスクレコーダー（デジタル放送対応）」（以下、DVD/BD）の保有率（保有している世帯の割合）を示したものである。

なお、これらの箱ひげ図では、"「第1四分位数」−「四分位範囲」×1.5" 以上の値をとるデータの最小値、および "「第3四分位数」＋「四分位範囲」×1.5" 以下の値をとるデータの最大値までひげを引き、これらよりも遠い値を外れ値として○で示している。

（図の概要: 縦軸=保有率（%）、目盛 60〜100。横軸に PC, MP, SP, TV, DVD/BD の5つの箱ひげ図。おおよその読み取り値は次のとおり。

PC: 最小約57.5、第1四分位約70、中央値約75、第3四分位約78.5、最大約86.5。外れ値なし。
MP: 最小約56、第1四分位約63、中央値約67、第3四分位約70.5、最大約76.5。外れ値なし。
SP: 最小約59、第1四分位約66.5、中央値約69.5、第3四分位約73、最大約81。外れ値なし。
TV: 最小（ひげ下端）約91、第1四分位約94、中央値約95.5、第3四分位約96.5、最大約98.5。下側に外れ値○が1つ（約88.5）あり、この値は PC の最大値（約86.5）より大きい。
DVD/BD: 最小約57.5、第1四分位約64、中央値約66、第3四分位約69.5、最大約74.5。外れ値なし。）

資料: 総務省「平成27年通信利用動向調査」

〔1〕解答番号 1

次の記述Ⅰ〜Ⅲはこれらの箱ひげ図に関するものである。

Ⅰ. すべての都道府県において、TV保有率はPC保有率よりも高い。
Ⅱ. PC保有率の上位10都道府県では、PC保有率がDVD/BD保有率よりも高い。
Ⅲ. すべての都道府県のSP保有率は、どの都道府県のMP保有率よりも高い。

記述Ⅰ〜Ⅲに関して、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

Ⅰのみ正しい。
Ⅱのみ正しい。
Ⅲのみ正しい。
ⅠとⅡのみ正しい。
ⅠとⅢのみ正しい。

正解と解説

正解：④

考え方：箱ひげ図は都道府県ごとの対応（どの点がどの県か）を示さない。したがって「すべての県で A > B」を箱ひげ図から言い切れるのは、A の最小値が B の最大値より大きいときだけである。逆に「A の最小値 < B の最大値」なら、対応がわからなくても「すべて」という主張は否定できないように見えるが、「A のどの県も B のどの県より高い」という主張（Ⅲの形）はその時点で偽になる。

Ⅰ（正しい）：TV の最小値は外れ値○の約88.5である（ひげの下端ではなく外れ値まで含めた最小値で判断する）。PC の最大値は約86.5。

TVの最小値 \approx 88.5 > 86.5 \approx PCの最大値

TV 保有率が最も低い県でも、PC 保有率が最も高い県より高いので、どの県でも TV > PC が成り立つ。

Ⅱ（正しい）：47件のデータの第3四分位数は上から数えて約12番目の値なので、PC 上位10県の保有率はすべて PC の第3四分位数（約78.5）以上である。一方 DVD/BD の最大値は約74.5。

PC上位10県の保有率 \geq 78.5 > 74.5 \approx DVD/BDの最大値

上位10県の PC 保有率は、どの県の DVD/BD 保有率よりも高いので、自県の DVD/BD 保有率よりも当然高い。

Ⅲ（誤り）：SP の最小値は約59、MP の最大値は約76.5。

SPの最小値 \approx 59 < 76.5 \approx MPの最大値

SP 保有率が最も低い県は、MP 保有率が最も高い県より低いので「どの県の MP 保有率よりも高い」は成り立たない。

誤答の見分け方：⑤（ⅠとⅢ）は SP の箱が MP の箱よりやや上にあることから「SP > MP」と読んでしまう誤り。箱の位置（中央値・四分位数）の比較は「全体的な傾向」であって、「すべての県で」という主張の根拠にはならない。①はⅡの検討を省いた誤り。

ポイント 箱ひげ図で「すべての個体で A > B」を判定するときは A の最小値と B の最大値を比べる。外れ値○も最小値・最大値に含めること。「上位 k 個」は第3四分位数（n=47 なら上から約12番目）を下限として使える。

〔2〕解答番号 2

次のグラフは、PC, MP, SP, TV および DVD/BD の都道府県別保有率のヒストグラムである。MP と SP はそれぞれどのヒストグラムにあたるか。下の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

（図の概要: 横軸=保有率 50〜100（階級幅5）、縦軸=度数。5つのヒストグラム a〜e の各階級の度数はおおよそ次のとおり。

a: 55–60: 2、60–65: 7、65–70: 17、70–75: 15、75–80: 5、80–85: 1（範囲 55〜85、山は65〜75）
b: 55–60: 6、60–65: 13、65–70: 14、70–75: 13、75–80: 1（範囲 55〜80、山は60〜75で平ら）
c: 55–60: 1、60–65: 1、65–70: 10、70–75: 12、75–80: 16、80–85: 6、85–90: 1（範囲 55〜90、山は75〜80）
d: 85–90: 1、90–95: 18、95–100: 28（範囲 85〜100、右端に集中）
e: 55–60: 5、60–65: 14、65–70: 17、70–75: 11（範囲 55〜75、75以上なし））

問1〔2〕都道府県別保有率のヒストグラム a〜e（横軸=保有率 50〜100、縦軸=度数）

MP: a, SP: b
MP: a, SP: e
MP: b, SP: a
MP: b, SP: e
MP: e, SP: a

正解と解説

正解：③

考え方：箱ひげ図の「最小値・最大値（範囲）」と「中央値」がヒストグラムのどこに現れるかを対応づける。範囲はヒストグラムの左端・右端の階級、中央値は累積度数が24（47の半分）に達する階級で決まる。

手順1：範囲（最大値）で絞る。箱ひげ図の最大値は PC 約86.5、MP 約76.5、SP 約81、TV 約98.5、DVD/BD 約74.5。

ヒストグラム	最大の階級	対応する系列
d	95–100	TV（最大 98.5）
c	85–90	PC（最大 86.5）
a	80–85	SP（最大 81）
b	75–80（度数1）	MP（最大 76.5）
e	70–75（75以上なし）	DVD/BD（最大 74.5）

これだけで MP: b、SP: a が決まる。

手順2：中央値で確認。a の累積度数は 2, 9, 26 なので24番目は 65–70 の階級にあり、SP の中央値約69.5と合う。b の累積度数は 6, 19, 33 で24番目は 65–70 にあり、MP の中央値約67と合う。b は 60–75 の3階級がほぼ同じ高さで平らな形をしており、MP の箱（63〜70.5）が広く左右対称に近いことと整合する。

また、b と e はどちらも中央値が 65–70 にあり形も似ているが、MP は 75 を超える県（最大 76.5）があるのに対し、DVD/BD は最大 74.5 で 75 以上の県がない。この差が b の 75–80 の度数1に現れている。

誤答の見分け方：④・⑤は SP または MP を e と取り違えたもの。e には 75 以上の階級がなく、SP の最大値81・MP の最大値76.5 のどちらとも合わない。①・②は MP を a としたもので、a には 80–85 の県があり MP の最大値76.5 と矛盾する。

ポイント 箱ひげ図とヒストグラムの対応づけは、まず最大値・最小値（範囲）で右端・左端の階級を照合し、次に中央値（累積度数が n/2 に達する階級）で確認する。箱の幅（四分位範囲）が広い系列はヒストグラムが平らに、狭い系列は尖った形になる。

問2（解答番号 3・4・5）

次の表は、4道県（北海道、秋田県、茨城県、長野県）における農業経営体（経営耕地を持たないものを除く）の数を経営耕地面積の階級ごとに集計した度数分布表である。

	経営耕地面積の階級	北海道	秋田県	茨城県	長野県
(A)	面積 < 0.3	342	251	371	1851
(B)	0.3 ≤ 面積 < 0.5	986	3219	8375	14058
(C)	0.5 ≤ 面積 < 1.0	1482	7661	17131	20396
(D)	1.0 ≤ 面積 < 1.5	1111	6307	10644	7717
(E)	1.5 ≤ 面積 < 2.0	826	4813	6719	3333
(F)	2.0 ≤ 面積 < 3.0	1571	6039	6625	2624
(G)	3.0 ≤ 面積 < 5.0	2783	4853	4195	1716
(H)	5.0 ≤ 面積 < 10.0	5234	3245	2316	898
(I)	10.0 ≤ 面積 < 20.0	7963	1412	836	379
(J)	20.0 ≤ 面積 < 30.0	5442	398	223	116
(K)	30.0 ≤ 面積 < 50.0	6128	230	159	76
(L)	50.0 ≤ 面積 < 100.0	4584	94	70	40
(M)	100.0 ≤ 面積	1168	17	17	20
	合計	39620	38539	57681	53224

（注）面積の単位はヘクタール

資料: 農林水産省「2015年農林業センサス」

〔1〕解答番号 3

茨城県の農業経営体における経営耕地面積の中央値を含む階級はどれか。次の①〜⑤のうちから適切なものを一つ選べ。

正解と解説

正解：③

考え方：中央値は小さい方から数えて全体の半分の位置にある値である。茨城県の合計は 57681 なので、中央値は

\frac{57681 + 1}{2} = 28841 番目

の値である。累積度数が初めて 28841 以上になる階級を上から探す。

階級	度数	累積度数	累積相対度数(%)
(A)	371	371	0.6
(B)	8375	8746	15.2
(C)	17131	25877	44.9
(D)	10644	36521	63.3
(E)	6719	43240	75.0

累積相対度数で考えても同じで、(C) までで 44.9%、(D) までで 63.3% なので 50% をまたぐのは (D) である。

誤答の見分け方：② (C) は「(C) の累積 44.9% が最も 50% に近い」と早合点した誤り。50% を超えた瞬間の階級が答えである。

ポイント 度数分布表の中央値＝累積相対度数が 50% をまたぐ階級。合計が大きいときは相対度数（%）に直して累積すると計算が楽になる。

〔2〕解答番号 4

長野県の農業経営体における経営耕地面積の第1四分位数と第3四分位数を含む階級の組合せとして、次の①〜⑤のうちから適切なものを一つ選べ。

第1四分位数 (B)、第3四分位数 (C)
第1四分位数 (B)、第3四分位数 (D)
第1四分位数 (B)、第3四分位数 (E)
第1四分位数 (A)、第3四分位数 (D)
第1四分位数 (A)、第3四分位数 (E)

正解と解説

正解：②

考え方：第1四分位数は累積相対度数が 25% をまたぐ階級、第3四分位数は 75% をまたぐ階級にある。長野県の合計は 53224 なので、位置はおよそ

第1四分位数： 53224 \times 0.25 = 13306 番目付近、　第3四分位数： 53224 \times 0.75 = 39918 番目付近

階級	度数	累積度数	累積相対度数(%)
(A)	1851	1851	3.5
(B)	14058	15909	29.9
(C)	20396	36305	68.2
(D)	7717	44022	82.7
(E)	3333	47355	89.0

第1四分位数：(A) までで 1851（3.5%）、(B) までで 15909（29.9%）。13306 番目（25%）は (B) にある。

第3四分位数：(C) までで 36305（68.2%）、(D) までで 44022（82.7%）。39918 番目（75%）は (D) にある。

よって第1四分位数 (B)、第3四分位数 (D) の組合せである。

誤答の見分け方：① (C) は「(C) の累積 68.2% が 75% に近い」と誤ったもの。④・⑤の (A) は累積 3.5% にすぎず 25% にはるかに届かない。

ポイント 四分位数も中央値と同じ手順：25%・75% を初めて超える階級を累積相対度数で探す。合計の 1/4、3/4 番目を先に計算しておくと迷わない。

〔3〕解答番号 5

下の図は、この度数分布表から相対度数を求めて帯グラフにしたものである。ただし、階級 (A)〜(B), (C)〜(D), (E)〜(F), (G)〜(I), (J)〜(M) の5階級にまとめてから表示している。北海道と秋田県のグラフの組合せとして、次の①〜⑤のうちから適切なものを一つ選べ。

（図の概要: 縦軸=相対度数（%）0〜100 の積み上げ帯グラフ4本（ア）〜（エ）。下から (A)-(B)（黒）, (C)-(D), (E)-(F), (G)-(I), (J)-(M)（最も薄い）の順に積み上げ。各帯の累積境界のおおよその値は次のとおり。

（ア）: (A)-(B) 約30%、(C)-(D) 30→83%、(E)-(F) 83→94%、(G)-(I) 94→99.5%、(J)-(M) ごくわずか
（イ）: (A)-(B) 約15%、(C)-(D) 15→63%、(E)-(F) 63→86%、(G)-(I) 86→99%、(J)-(M) 約1%
（ウ）: (A)-(B) 約9%、(C)-(D) 9→45%、(E)-(F) 45→73%、(G)-(I) 73→98%、(J)-(M) 約2%
（エ）: (A)-(B) 約3%、(C)-(D) 3→10%、(E)-(F) 10→16%、(G)-(I) 16→56%、(J)-(M) 56→100%（約44%））

問2〔3〕経営耕地面積の階級別相対度数の帯グラフ（ア）〜（エ）（凡例 (A)-(B) 〜 (J)-(M)）

北海道 (ウ)、秋田県 (ア)
北海道 (ウ)、秋田県 (イ)
北海道 (エ)、秋田県 (ア)
北海道 (エ)、秋田県 (イ)
北海道 (エ)、秋田県 (ウ)

正解と解説

正解：⑤

考え方：4本の帯グラフは特徴がはっきり異なるので、判別しやすい階級の相対度数を1つか2つ計算すれば足りる。北海道は大規模経営体が多いことが表から明らかなので (J)〜(M) の割合を、秋田県は最下段 (A)〜(B) の割合を計算する。

北海道：(J)〜(M) の度数の合計と相対度数は

5442 + 6128 + 4584 + 1168 = 17322

\frac{17322}{39620} \approx 0.437 = 43.7 %

(J)〜(M) が 4 割以上を占めるのは（エ）だけである（他は 2% 以下）。よって北海道は（エ）。

秋田県：(A)〜(B) の相対度数は

\frac{251 + 3219}{38539} = \frac{3470}{38539} \approx 0.090 = 9.0 %

最下段が約 9% なのは（ウ）である（（ア）約30%、（イ）約15%）。念のため (C)〜(D) も計算すると

\frac{7661 + 6307}{38539} = \frac{13968}{38539} \approx 36.2 %

で、累積 9.0 + 36.2 = 45.2% となり（ウ）の「9→45%」と一致する。よって秋田県は（ウ）。

参考までに4道県の5階級の相対度数（%）をまとめると次のようになる。

	(A)-(B)	(C)-(D)	(E)-(F)	(G)-(I)	(J)-(M)	グラフ
北海道	3.4	6.5	6.0	40.3	43.7	（エ）
秋田県	9.0	36.2	28.2	24.7	1.9	（ウ）
茨城県	15.2	48.2	23.1	12.7	0.8	（イ）
長野県	29.9	52.8	11.2	5.6	0.5	（ア）

誤答の見分け方：①・②は北海道を（ウ）としたもの。北海道は 10ha 以上（(I)〜(M)）だけで 25285 件と全体の 6 割を超えており、(J)〜(M) が 2% の（ウ）ではありえない。③・④は秋田県を（ア）（イ）としたもので、最下段 (A)〜(B) の割合（約30%・約15%）が秋田の 9.0% と合わない。

ポイント 帯グラフの対応づけは、全階級を計算せず最も特徴的な1〜2階級の相対度数だけ計算して照合する。最下段（帯の起点）と最上段（残り）は境界が読みやすいので使いやすい。

問3（解答番号 6・7・8）

次の図は、各月におけるアジアおよび北アメリカからの訪日外客数（左図、千人）および訪日外客数の前年同月比伸び率（右図、%）を2013年1月から2015年12月までプロットしたものである。ただし伸び率は、増減がないときに0%となるように定義する。

（図の概要: 左図は横軸=年.月（2013.01〜2015.12）、縦軸=訪日外客数（千人）0〜1600。アジア計（○）は 2013年初約500 から季節変動を伴いつつ増加し、2015年には 1200〜1600 に達する。北アメリカ計（●）は全期間を通じて約50〜120 でほぼ横ばい。両者の差は拡大している。
右図は横軸=年.月、縦軸=前年同月比伸び率（%）−10〜80。アジア計（○）は 2013年初の約−5% から大きく変動しながら上昇し、2015年には 30〜72% の範囲。北アメリカ計（●）は 5〜25% の範囲で推移し、常にアジア計より低い。）

資料: 日本政府観光局（JNTO）

問3 訪日外客数（左図、千人）と前年同月比伸び率（右図、%）の折れ線グラフ（アジア計○・北アメリカ計●、2013年1月〜2015年12月、資料：JNTO）

〔1〕解答番号 6

2014年8月と2015年8月の訪日外客数（アジアおよび北アメリカの合計）はそれぞれ 995（千人）および 1668（千人）であった。2015年8月の訪日外客数（アジアおよび北アメリカの合計）の前年同月比伸び率（%）はいくらか。次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

正解と解説

正解：③

考え方：前年同月比伸び率は「増減がないときに 0%」となるように定義されているので、

伸び率 = \frac{今年の値 - 前年同月の値}{前年同月の値} \times 100 %

である。分母は前年（基準時点）の値であることに注意する。

計算：

\frac{1668 - 995}{995} \times 100 = \frac{673}{995} \times 100 \approx 67.6 %

最も近い 68 が答えである。

誤答の見分け方：① 40 は増加分 673 を今年の値 1668 で割った値（673/1668 ≈ 40.3%）で、分母を取り違えた誤り。④ 72 や ⑤ 74 は右図のアジア計の 2015 年のピーク付近の値で、図から読み取ろうとすると引っかかる。合計の伸び率は必ず与えられた数値から計算する。

ポイント 伸び率（変化率）＝（今期 − 基準期）÷ 基準期。「1668/995 = 1.676 → 67.6% 増」と比で考えると速い。

〔2〕解答番号 7

次の記述Ⅰ〜Ⅲはこれらの図に関するものである。

Ⅰ. 訪日外客数（アジア計）には季節性があるので、全体的な傾向（トレンド）を把握するためには、前年同月比伸び率よりも前期比伸び率をプロットした図を調べるのが適切である。
Ⅱ. 訪日外客数（アジア計）と訪日外客数（北アメリカ計）の差は、拡大する傾向にある。
Ⅲ. 訪日外客数（北アメリカ計）の前年同月比伸び率が訪日外客数（アジア計）の前年同月比伸び率より低いのは、訪日外客数（北アメリカ計）が訪日外客数（アジア計）よりも 400（千人）以上少ないことが理由である。

記述Ⅰ〜Ⅲに関して、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

Ⅰのみ正しい。
Ⅱのみ正しい。
Ⅲのみ正しい。
ⅡとⅢのみ正しい。
ⅠとⅡとⅢはすべて正しい。

正解と解説

正解：②

Ⅰ（誤り）：月次データに季節性があるとき、前期比（前月比）伸び率には季節変動がそのまま現れる（例：観光シーズンの月は前月比で必ず大きくプラスになる）。前年同月比なら同じ季節どうしを比べるので季節変動が打ち消され、トレンドが読み取りやすい。したがって「前年同月比より前期比が適切」は逆である。

Ⅱ（正しい）：左図でアジア計は約 500 から 1200〜1600 へ大きく増加しているのに対し、北アメリカ計は 50〜120 でほぼ横ばいである。両者の差（アジア計 − 北アメリカ計）は明らかに拡大している。

Ⅲ（誤り）：前年同月比伸び率は

\frac{y_{t} - y_{t - 12}}{y_{t - 12}}

という比率であり、各系列の自分自身の過去との比較である。系列の水準（人数の多さ）とは無関係で、人数が少ない系列でも伸び率が高いことは普通にある。「400 千人以上少ないから伸び率が低い」は因果関係として成り立たない。北アメリカ計の伸び率が低いのは、北アメリカからの訪日客の増加ペース自体が緩やかだからである。

誤答の見分け方：④・⑤はⅢを正しいとしたもの。「差が大きい」（人数の話）と「伸び率が低い」（比率の話）は別の概念であり、混同しないこと。

ポイント 季節性のある月次・四半期データのトレンドを見るなら前年同月比（前年同期比）。前期比は季節変動が混ざる。伸び率は比率なので、系列の水準の大小とは独立に比較できる。

〔3〕解答番号 8

訪日外客数（アジア計）のコレログラムとして、次の①〜④のうちから最も適切なものを一つ選べ。

（図の概要: いずれも横軸=時間差（月）0〜12、縦軸=自己相関係数 −1.0〜1.0。
①: ラグ0で1.0、以後 0.9, 0.8, 0.75, 0.65, 0.55, 0.45, 0.35, 0.3, 0.2, 0.15, 0.05, 0.02 と単調にゆっくり減衰し、すべて正（トレンドのある系列）。
②: ラグ0で1.0、ラグ1で −0.9、ラグ2で 0.8、ラグ3で −0.75、… と正負を交互に繰り返しながら減衰。
③: ラグ0で1.0のみで、ラグ1以降はすべてほぼ0（ホワイトノイズ）。
④: ラグ0, 4, 8, 12 で1.0、その他のラグはほぼ0（周期4の系列）。）

問3〔3〕選択肢①〜④のコレログラム（横軸=時間差（月）0〜12、縦軸=自己相関係数）

図①
図②
図③
図④

正解と解説

正解：①

考え方：コレログラムは、時間差（ラグ） $h$ ごとの自己相関係数

r_{h} = \frac{\sum_{t = h + 1}^{n} (y_{t} - \bar{y}) (y_{t - h} - \bar{y})}{\sum_{t = 1}^{n} {(y_{t} - \bar{y})}^{2}}

を棒グラフにしたものである。アジア計の訪日外客数は 3 年間で約 3 倍に増える強い上昇トレンドを持つ。トレンドのある系列では、平均より大きい値（後半）の近くには同じく大きい値が、小さい値（前半）の近くには小さい値が並ぶため、どのラグでも自己相関は正で大きく、ラグが伸びるにつれてゆっくり減衰する。これが図①の形である。

図	コレログラムの形	対応する系列
①	正の値がゆっくり単調減衰	トレンド（上昇・下降）のある系列
②	正負が交互に現れて減衰	1期ごとに上下を繰り返す系列（負の自己相関）
③	ラグ1以降ほぼ0	ホワイトノイズ（規則性のない系列）
④	ラグ4, 8, 12 で 1.0	周期4の完全な周期系列

誤答の見分け方：④は季節性（周期）を意識して選びやすいが、月次データの季節性なら山はラグ 12 に現れるはずで、ラグ 4 で 1.0 になる形は四半期周期の系列である。また、アジア計にはトレンドがあるので、周期以外のラグで自己相関が 0 になることもない。③は無相関の系列、②は毎月増減を繰り返す系列であり、単調増加するアジア計には当てはまらない。

ポイント コレログラムの読み方：トレンドあり → 正の値がゆっくり減衰、季節性あり → 周期（月次なら 12）の倍数のラグで山、ホワイトノイズ → ラグ1以降ほぼ0、交互に符号が変わる → 負の自己相関。ラグ0の自己相関は常に 1。

問4（解答番号 9・10・11）

次の図は、1991年から2015年までの各年における日本のコーヒー小売価格（米ドルに換算した1ポンド当たりの価格、1ポンドは約454g、以下「価格」）を縦軸に、前年の世界のコーヒー総生産量（単位は100万袋、1袋は60kg、以下「生産量」）を横軸にとって作成した散布図である。

（図の概要: 横軸=世界総生産量（100万袋）90〜150、縦軸=1ポンド当たりの小売価格（米ドル）6〜18、25点。生産量 87〜105 の点は価格 12〜18 の高い群（(93, 17.7) が最高、(87, 15.2), (91, 14.7), (99, 14.6), (103, 14.2), (100, 13.5), (101, 12.6), (93, 11.9) など）、生産量 105〜152 の点は価格 5.5〜9 の低い群（(105, 8.8), (108, 8.1), (111, 8.2), (113, 8.6), (116, 8.2), (123, 8.2), (123, 8.3), (129, 8.1), (128, 6.4), (134, 6.1), (140, 7.4), (148, 7.6), (149, 6.1), (148, 5.6), (152, 5.7) など）。例外として (109, 15.3) と (131, 12.9) が高価格側にある。全体として明確な右下がりの強い負の相関。）

資料: 国際コーヒー機関 (ICO)

問4 世界総生産量（100万袋）と1ポンド当たりコーヒー小売価格（米ドル）の散布図（1991〜2015年、資料：ICO）

〔1〕解答番号 9

価格と生産量の間の相関係数の値として、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

0.994
0.794
0.094
−0.794
−0.994

正解と解説

正解：④

考え方：散布図から相関係数を推定するときは、符号（右上がりか右下がりか）と絶対値（点が直線にどれだけ近いか）の2段階で絞る。

符号：生産量が多い年ほど価格が低い右下がりの散布図なので、相関係数は負である。①②③は除外できる。

絶対値：残る候補は −0.794 と −0.994。相関係数の絶対値が 0.99 を超えるのは、全点がほぼ一直線上に並ぶ場合に限られる。この散布図は右下がりの傾向は明確だが、

低価格群では生産量 105〜152 にわたって価格が 5.5〜9 の範囲でばらついている
(109, 15.3)、(131, 12.9) のように傾向から大きく外れた点がある

ので、直線からの散らばりがかなりある。したがって −0.794 が適切である。

誤答の見分け方：⑤ −0.994 は「負の相関が強そう」という印象だけで選びやすい。0.99 級の相関は「定規で線が引ける」ほど点が並んでいるときだけと覚える。③ 0.094 はほぼ無相関で、明確な右下がりの図には合わない。

ポイント 相関係数の当てはめ：符号は傾きの向き、絶対値は帯の細さ。|r| ≈ 0.99 なら直線状、|r| ≈ 0.7〜0.8 なら「傾向ははっきりだが点は散らばっている」。外れた点が2〜3個あるだけで |r| は 0.9 を下回りやすい。

〔2〕解答番号 10

この散布図を描いたときと同じデータを用いて単回帰モデル

価格 = 切片 + 傾き \times 生産量 + 誤差項 (A)

を最小二乗法で推定し、上記の散布図に回帰直線を実線として書き加えた。このときのグラフとして、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

（図の概要: いずれも同じ散布図（横軸=生産量 90〜150、縦軸=価格 6〜18）に直線を引いたもの。
①: 生産量90で約10、150で約6.5 の緩い右下がりの直線（低価格群の点を通り、高価格群の点はすべて直線の上側）。
②: 生産量90で約15、150で約5.5 の右下がりの直線（散布図のほぼ中央 (120, 10) 付近を通り、上下の点がバランスよく分かれる）。
③: 生産量90で約13、140で約5 の右下がりの直線（②より下に位置し、右端で6を下回る）。
④: 生産量90で約15、150で約12 の非常に緩い右下がりの直線（高価格群の点のみを通り、低価格群はすべて直線の下側）。
⑤: 生産量90で約17、150で約7 の右下がりの直線（②より上に位置し、ほとんどの点が直線の下側）。）

図①
図②
図③
図④
図⑤

正解と解説

正解：②

考え方：最小二乗法による回帰直線には次の性質がある。

必ずデータの重心 $(\bar{x}, \bar{y})$ を通る（切片が $\bar{y} - b \bar{x}$ で決まるため）。
残差の和が 0 になる（直線の上側にある点と下側にある点のずれが釣り合う）。
傾きは $b = r \cdot s_{y} / s_{x}$ で、相関係数と同符号である。

判定：散布図の重心は、生産量がおよそ 115〜120、価格がおよそ 10 の付近にある（高価格群8点と低価格群15点＋例外2点を平均するイメージ）。この付近を通り、上下に点がバランスよく分かれているのは②だけである。

実際、〔3〕で与えられる傾きの推定値 −0.1451 を使うと、②の直線は生産量が 90 から 150 まで 60 増えるとき価格が

0.1451 \times 60 \approx 8.7

下がることになり、②（90 で約 15、150 で約 5.5、差約 9.5）の傾きと整合する。

誤答の見分け方：

①は低価格群だけに合わせた直線で、高価格群がすべて上側にあり残差の和が正になる。傾きも緩すぎる。
④は高価格群だけに合わせた直線で、低価格群がすべて下側。傾き（60 で約 3）は −0.145 と合わない。
⑤はほとんどの点が直線の下側にあり、残差の和が負になる。重心を通っていない。
③は②と傾きは近いが全体に下にずれており、右端で価格 5 を下回るなど点が上側に偏る。

ポイント 回帰直線は重心を通り、残差の和が 0。散布図に引かれた直線の正誤は「重心付近を通るか」「上下の点が釣り合っているか」で判定する。傾きの値が与えられていれば、横軸の幅 × 傾きで縦の変化量を検算できる。

〔3〕解答番号 11

最小二乗法による式 (A) の傾きの推定値は −0.14510、その標準誤差は 0.02316 であった。誤差項は互いに独立で同じ正規分布に従うと仮定する。このとき、傾きが0であるという帰無仮説に対する検定を行うための検定統計量の値と検定統計量の分布の組合せとして、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

検定統計量の値は −5.27、検定統計量の分布は自由度25の t 分布
検定統計量の値は −7.27、検定統計量の分布は自由度24の t 分布
検定統計量の値は −6.27、検定統計量の分布は自由度24の t 分布
検定統計量の値は −7.27、検定統計量の分布は自由度23の t 分布
検定統計量の値は −6.27、検定統計量の分布は自由度23の t 分布

正解と解説

正解：⑤

考え方：単回帰の回帰係数 $β$ に関する帰無仮説 $H_{0} : β = 0$ の検定統計量は

t = \frac{\hat{β} - 0}{SE (\hat{β})}

で、誤差項が独立に同じ正規分布に従うとき、帰無仮説のもとで自由度 n − 2 の t 分布に従う。自由度が n − 2 になるのは、切片と傾きの2つのパラメータを推定するために誤差分散の推定で自由度を2つ失うからである。

計算：

t = \frac{- 0.14510}{0.02316} \approx - 6.265 \approx - 6.27

データは 1991 年から 2015 年までの 25 年分なので $n = 25$ 、自由度は

n - 2 = 25 - 2 = 23

よって「検定統計量 −6.27、自由度 23 の t 分布」の⑤が正しい。

参考（検定の結論）：付表より自由度 23 の t 分布の上側 2.5% 点は 2.069、上側 0.5% 点は 2.807 である。|t| = 6.27 はいずれも大きく上回るので、有意水準 5% でも 1% でも帰無仮説「傾き = 0」は棄却され、生産量は価格に対して有意な（負の）効果を持つといえる。

誤答の見分け方：−5.27、−7.27 は割り算の計算ミスを想定したもの（0.02316 × 6 = 0.139、0.02316 × 7 = 0.162 なので、0.1451 は 6 倍と 7 倍の間で 6 寄り）。自由度 25 は n、自由度 24 は n − 1 で、いずれも回帰の自由度の取り方を誤ったもの。「1991年から2015年まで」を 24 年と数えないよう注意（2015 − 1991 + 1 = 25）。

ポイント 回帰係数の t 検定：

t = \hat{β} / SE

、自由度は n − 2（単回帰）、一般には n −（推定するパラメータ数）。統計ソフトの出力の「t 値」はこの値、「P 値」はこの t 分布での両側確率である。

問5（解答番号 12）

標本調査に関する記述として、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

解答番号 12

多段抽出においては段数が増えるほど精緻な抽出方法であるので、二段抽出よりも三段抽出の方が高い精度が見込まれる抽出方法である。
層別抽出においては、各層内の値の散らばり具合が母集団を反映した散らばり具合になることが好ましい。
繁華街での街頭インタビューで乱数表をもとに調査する人を抽出することで、この街全体の単純無作為抽出を実現できる。
集落抽出（クラスター抽出）は単純無作為抽出と比べて時間と費用を節約できるが精度は落ちることがある。
調査対象者に次の調査対象者を紹介してもらうことで回答率を上げることができれば、必ず精度は向上する。

正解と解説

正解：④

考え方：各抽出法の「目的（何を節約するか）」と「精度への影響」を整理して、記述を1つずつ検討する。

抽出法	やり方	長所	短所・注意
単純無作為抽出	母集団全体から等確率で抽出	理論の基本、偏りなし	名簿（抽出枠）が必要、コスト大
層別抽出	母集団を層に分け、各層から抽出	層内が均質なら精度が上がる	層内はなるべく均質、層間は異質に分ける
集落（クラスター）抽出	集落を無作為に選び、その全員を調査	時間・費用を節約	集落内が似ていると精度が落ちる
多段抽出	市→地区→世帯のように段階的に抽出	広域調査で費用を節約	段数が増えるほど誤差は大きくなりがち
系統抽出	名簿から等間隔に抽出	簡便	名簿に周期性があると偏る

①（誤り）：多段抽出は各段で抽出誤差が積み重なるので、段数が増えるほど一般に精度は低下する。段数を増やすのは費用や手間を節約するためであり、精度のためではない。

②（誤り）：層別抽出で精度が上がるのは、層内の散らばりが小さく（均質）、層間の違いが大きいときである。「各層内の散らばりが母集団と同じ」なら層に分ける意味がなく、単純無作為抽出と変わらない。

③（誤り）：単純無作為抽出は「母集団のすべての要素が等しい確率で選ばれる」ことが条件である。繁華街にいる人は「その時間にその場所に来た人」に限られ、街全体の住民のうち来ない人には選ばれる確率がない。乱数表で選んでも、抽出枠が母集団と一致していないので単純無作為抽出にはならない。

④（正しい）：集落抽出は選んだ集落（学校・地域など）の全員を調べるので、移動や名簿作成の手間が省けて時間と費用を節約できる。一方、同じ集落内の人は似た性質を持ちやすく、実質的な情報量が減るため、同じ標本サイズの単純無作為抽出より精度が落ちることがある。

⑤（誤り）：対象者に次の対象者を紹介してもらう方法（雪だるま式抽出）は、紹介者の知人という偏った集団に標本が集中し、無作為性が失われる。回答率が上がっても標本に偏りがあれば精度（推定の正しさ）は向上しない。「必ず」という表現も誤り。

ポイント 抽出法の暗記軸は「費用を減らす代わりに精度が落ちうる（集落・多段）」と「精度を上げる（層別：層内均質・層間異質）」。単純無作為抽出の条件は「母集団の全要素が等確率で選ばれる」ことで、街頭・知人紹介・自発的回答はこれを満たさない。

問6（解答番号 13）

2種類のコイン A, B の重さを両側天秤ばかりで量ることを考える。コイン A の重さを $a$ 、コイン B の重さを $b$ とし、いずれも未知であるとする。A と B の両方を天秤の片側に乗せると2つのコインの合計の重さ $X$ が、A と B のそれぞれを天秤の両側に別々に乗せるとコインの重さの差 $Y$ が計測される。ただし $X$ と $Y$ は誤差を含んでおり、平均0、分散 $σ^{2}$ の独立な確率変数 $ε_{1}$ , $ε_{2}$ を用いて

X = a + b + ε_{1}, Y = a - b + ε_{2}

と表されるものとする。これら $X$ と $Y$ の和と差を2で割ることで、A と B の重さをそれぞれ推定することができる。

解答番号 13

このとき、B の重さの推定量の分散はいくらか。次の①〜⑤のうちから適切なものを一つ選べ。

$\frac{σ^{2}}{4}$
$\frac{σ^{2}}{3}$
$\frac{σ^{2}}{2}$
$σ^{2}$
$2 σ^{2}$

正解と解説

正解：③

考え方：まず「B の重さの推定量」を X, Y の式で具体的に書き、それを誤差 $ε_{1}$ , $ε_{2}$ の線形結合に直す。定数 a, b は分散に影響しないので、残るのは独立な誤差の線形結合の分散だけである。

手順1：推定量を作る　X と Y を足すと b が消え、引くと a が消える。

X + Y = 2 a + ε_{1} + ε_{2}, X - Y = 2 b + ε_{1} - ε_{2}

したがって B の重さの推定量は

\hat{b} = \frac{X - Y}{2} = b + \frac{ε_{1} - ε_{2}}{2}

（期待値は $E [\hat{b}] = b$ なので不偏推定量になっている。）

手順2：分散を計算する　定数 b は分散に無関係。 $ε_{1}$ と $ε_{2}$ は独立なので共分散の項は 0 で、係数は2乗して掛ける。

V [\hat{b}] = V [\frac{1}{2} ε_{1} - \frac{1}{2} ε_{2}] = {(\frac{1}{2})}^{2} V [ε_{1}] + {(- \frac{1}{2})}^{2} V [ε_{2}]

= \frac{1}{4} σ^{2} + \frac{1}{4} σ^{2} = \frac{σ^{2}}{2}

よって③。A の重さの推定量 $\hat{a} = (X + Y) / 2$ の分散も同じ計算で $σ^{2} / 2$ になる。

補足：B を単独で1回だけ量る（ $Z = b + ε$ ）と分散は $σ^{2}$ 。2回の計測（X と Y）を組み合わせることで分散が半分に減っている。これは「B を2回量って平均をとる」のと同じ精度であり、しかも同じ2回の計測から A の推定も同時に得られる（実験計画の工夫の例）。

誤答の見分け方

選択肢	どう間違えると出るか
① σ²/4	（1/2）² を掛けたあと、誤差が2つあることを忘れて片方だけ数えた
④ σ²	係数 1/2 を2乗せず、V[ε₁ − ε₂] = 2σ² をそのまま 1/2 倍した値（分散は係数の2乗倍になる）
⑤ 2σ²	V[X − Y] = V[ε₁ − ε₂] = 2σ² で止まり、2で割る操作を反映していない

ポイント

独立な確率変数の線形結合の分散： $V [c + p ε_{1} + q ε_{2}] = p^{2} V [ε_{1}] + q^{2} V [ε_{2}]$ 。定数 c は消え、係数は2乗、引き算でも分散は足す。
「和と差を2で割る」型の推定量は、まず X, Y の定義式を代入して ε の式に直すのが第一歩。
推定量の分散が小さいほど精度が高い。同じ回数の計測でも組み方で精度が変わる。

問7（解答番号 14・15・16）

ある加工場では、3つの漁港 X, Y, Z で獲れた貝を仕入れている。漁港 X, Y, Z から仕入れた貝の中にはそれぞれ 10%, 5%, 2% の割合で規格外の貝が含まれることが分かっている。この工場では、貝全体の 40% を漁港 X から、30% を漁港 Y から、30% を漁港 Z から仕入れている。今、無作為に貝を1つ抽出する。

〔1〕解答番号 14

抽出した貝が規格外であり、かつ漁港 X から仕入れたものである確率はいくらか。次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

0.01
0.02
0.03
0.04
0.05

正解と解説

正解：④

考え方：「漁港 X の貝であり、かつ規格外」は同時確率。「X から仕入れる確率」×「X の貝が規格外である条件付き確率」で求める（乗法定理）。まず設定を樹形図の形に整理しておくと〔2〕〔3〕まで一気に解ける。

漁港	仕入れ割合 P(漁港)	規格外率 P(規格外\|漁港)	同時確率 P(漁港 ∩ 規格外)
X	0.40	0.10	0.40 × 0.10 = 0.040
Y	0.30	0.05	0.30 × 0.05 = 0.015
Z	0.30	0.02	0.30 × 0.02 = 0.006
合計	1.00	—	0.061

計算手順

P (X \cap 規格外) = P (X) \times P (規格外 | X) = 0.40 \times 0.10 = 0.04

よって④。

誤答の見分け方：① 0.01 や ⑤ 0.05 は「10%」「5%」といった規格外率を仕入れ割合で重み付けせずにそのまま使ったもの。同時確率は必ず「仕入れ割合 × 規格外率」の積になる。

ポイント

乗法定理： $P (A \cap B) = P (A) P (B | A)$ 。「〜であり、かつ〜」は同時確率。
ベイズ型の問題は、最初に「原因の確率 × 条件付き確率 = 同時確率」の表を作る。この表が〔2〕（列の合計）と〔3〕（比率）の両方の材料になる。

〔2〕解答番号 15

抽出した貝が規格外である確率はいくらか。次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

0.02
0.04
0.06
0.08
0.10

正解と解説

正解：③

考え方：規格外の貝は「X 経由」「Y 経由」「Z 経由」のいずれかであり、これらは互いに排反。したがって〔1〕の表の同時確率の列を全部足せばよい（全確率の公式）。

計算手順

P (規格外) = P (X) P (規格外 | X) + P (Y) P (規格外 | Y) + P (Z) P (規格外 | Z)

= 0.40 \times 0.10 + 0.30 \times 0.05 + 0.30 \times 0.02

= 0.040 + 0.015 + 0.006 = 0.061 \approx 0.06

よって③。

誤答の見分け方：② 0.04 は X の分だけで止まった値。⑤ 0.10 は X の規格外率をそのまま答えたもの。3つの漁港の規格外率 10%, 5%, 2% の「仕入れ割合による加重平均」が答えなので、2%〜10% の間、かつ X の比重が大きいので 5% 強、と見当がつく。

ポイント

全確率の公式： $P (B) = \sum P (A_{i}) P (B | A_{i})$ （ $A_{i}$ は排反で全体を尽くす）。
全体の確率は各グループの確率の「割合による加重平均」。最小と最大の間に収まるかで検算する。

〔3〕解答番号 16

抽出した貝が規格外であるという条件の下で、それが漁港 X から仕入れたものである確率はいくらか。次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

0.56
0.66
0.76
0.86
0.96

正解と解説

正解：②

考え方：「規格外だった」という結果から「どの漁港から来たか」の確率を求める、典型的なベイズの定理の問題。条件付き確率の定義に戻ると、分子は〔1〕の同時確率、分母は〔2〕の全確率である。

計算手順

P (X | 規格外) = \frac{P (X \cap 規格外)}{P (規格外)} = \frac{0.040}{0.061}

\frac{0.040}{0.061} = \frac{40}{61} = 0.6557 \dots \approx 0.66

よって②。

意味の確認：何も情報がなければ X の貝である確率は 0.40 だが、「規格外である」と分かると 0.66 に上がる。X は規格外率が最も高い漁港なので、規格外という情報は「X らしさ」を強める方向に働く。この「事前確率 0.40 → 事後確率 0.66」という更新がベイズの定理の意味である。

誤答の見分け方

選択肢	どう間違えると出るか
① 0.56	分母を 0.061 ではなく 0.07 前後（規格外率の単純平均 0.057 等）と誤った場合に近い値
③ 0.76	分母を X と Y の分だけ 0.055 として 0.040/0.055 = 0.73 とした場合などに近い値
⑤ 0.96	分母を「X の規格外でない確率」などと取り違えた値。条件付き確率が 0.4（事前）からこれほど跳ね上がることは、規格外率の差（10% 対 5%, 2%）からみて不自然

ポイント

ベイズの定理： $P (A_{k} | B) = \frac{P (A_{k}) P (B | A_{k})}{\sum P (A_{i}) P (B | A_{i})}$ 。分子は「注目する枝の同時確率」、分母は「結果 B に至る全枝の同時確率の和」。
解く順番は必ず「同時確率の表 → 列の合計（全確率） → 比（ベイズ）」。〔1〕〔2〕〔3〕はこの3段階そのものである。
P(X|規格外) と P(規格外|X) を混同しない。前者が 0.66、後者が 0.10 で全く別物。

問8（解答番号 17・18）

将棋の名人戦では、名人と挑戦者が七番勝負（最大7回の対局）を行い、先に4勝した方が勝者となり、対局が終了する。20XX年は名人 A と挑戦者 B が戦うこととなった。ただし、1回の対局で名人 A が挑戦者 B に勝つ確率を 0.7、挑戦者 B が名人 A に勝つ確率を 0.3 とし、引き分けは無いものとする。また、各対局における勝敗は独立であるとする。

〔1〕解答番号 17

対局が第5局（5戦目）で終了し、かつ勝者が名人 A となる確率はいくらか。次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

0.29
0.33
0.37
0.41
0.44

正解と解説

正解：①

考え方：「第5局で A が勝者になる」とは、第4局までに A が3勝1敗で、第5局で A が勝つことである。第5局の結果は「A の勝ち」に固定されているので、順番を自由に並べられるのは第4局までの4局だけ、という点が最大の注意点。A が第4局までに4連勝していたら第4局で終了してしまうので、その並びは含めない。

手順1：第4局までの並び　4局のうち B が勝つ1局の位置は 4通り（第1〜4局のどれか）。

P (4局で A 3勝1敗) = {}_{4}C_{3} \times {0.7}^{3} \times {0.3}^{1} = 4 \times 0.343 \times 0.3 = 0.4116

手順2：第5局で A が勝つ　独立なので 0.7 を掛ける。

P = 0.4116 \times 0.7 = 0.28812 \approx 0.29

よって①。

並びで確認：該当する勝敗の列は次の4通りで、どれも確率は ${0.7}^{4} \times 0.3 = 0.07203$ 。

第1局	第2局	第3局	第4局	第5局
B	A	A	A	A
A	B	A	A	A
A	A	B	A	A
A	A	A	B	A

「A A A A B」は第4局で終了するので存在しない。4 × 0.07203 = 0.28812。

誤答の見分け方

選択肢	どう間違えると出るか
④ 0.41	第4局までの 0.4116 で止まり、第5局の勝ち 0.7 を掛け忘れた
③ 0.37	「5局中 A が4勝」を ${}_{5}C_{4} \times {0.7}^{4} \times 0.3 = 0.360$ と数えた。第4局で終わる並び「A A A A B」を誤って含めている
② 0.33	「第5局で終了」（A が勝者 0.288 ＋ B が勝者 0.023 = 0.311）に近い値。「かつ勝者が A」の条件を落とした

ポイント

「第 k 局で決着」型は、最終局を固定し、残りの k−1 局の並びを組合せで数える： ${}_{k - 1}C_{r - 1} p^{r - 1} {(1 - p)}^{k - r} \times p$ （r 勝目が第 k 局に来る確率、負の二項分布の形）。
単純に「k 局中 r 勝」の二項確率にすると、それより前に決着している並びを含んでしまい過大になる。

〔2〕解答番号 18

対局が第7局（7戦目）で終了する確率はいくらか。次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

0.03
0.07
0.11
0.15
0.19

正解と解説

正解：⑤

考え方：第7局までもつれるのは「第6局終了時点で 3勝3敗」のとき、そのときに限る。3勝3敗なら第7局で必ず決着する（どちらが勝っても4勝目）ので、第7局の結果は掛けなくてよい。したがって求める確率は「6局で A が3勝3敗になる確率」そのものである。

計算手順　6局のうち A が勝つ3局の選び方は ${}_{6}C_{3} = 20$ 通り。

P (6局で 3勝3敗) = {}_{6}C_{3} \times {0.7}^{3} \times {0.3}^{3}

= 20 \times 0.343 \times 0.027 = 20 \times 0.009261 = 0.18522 \approx 0.19

よって⑤。

この「6局で 3勝3敗」の並びの中には、第4局・第5局で決着してしまうものは含まれていない（どちらかが4勝に達していれば 3勝3敗にはならない）ので、〔1〕のような「先に終わる並びの除外」は自動的に済んでいる。

検算：何局で終わるかの分布を全部書くと合計が 1 になる。

終了局	A が勝者	B が勝者	合計
第4局	0.7⁴ = 0.2401	0.3⁴ = 0.0081	0.2482
第5局	₄C₃·0.7³·0.3·0.7 = 0.2881	₄C₃·0.3³·0.7·0.3 = 0.0227	0.3108
第6局	₅C₃·0.7³·0.3²·0.7 = 0.2161	₅C₃·0.3³·0.7²·0.3 = 0.0397	0.2558
第7局	₆C₃·0.7³·0.3³·0.7 = 0.1297	₆C₃·0.7³·0.3³·0.3 = 0.0556	0.1852
合計	0.8740	0.1260	1.0000

第7局の行の合計 0.1852 が答えと一致し、全体の合計も 1 になっている。

誤答の見分け方：③ 0.11 や ② 0.07 に近い値として、0.1852 × 0.7 = 0.13（第7局で A が勝つ）や 0.1852 × 0.3 = 0.056（第7局で B が勝つ）がある。設問は「第7局で終了する」であって勝者を問うていないので、第7局の結果を掛けてはいけない。

ポイント

「フルセットにもつれる確率」＝「(最終局−1) 局終了時点で同率」の二項確率。最終局の結果は掛けない。
「第 k 局で終了」を問われたら、勝者が A の場合と B の場合の両方を足す。「かつ勝者が A」と限定されていれば片方だけ。
終了局の確率をすべて足すと 1。時間があればこの検算で計算ミスを潰せる。

問9（解答番号 19・20）

確率変数 $X$ は平均0、分散 $σ_{1}^{2} (> 0)$ の正規分布に従い、確率変数 $Y$ は平均0、分散 $σ_{2}^{2} (> 0)$ の正規分布に従うとし、 $X$ と $Y$ は互いに独立とする。ここで、 $U = X + Y$ 、 $V = X - Y$ とおく。

〔1〕解答番号 19

確率変数 $U$ と $V$ の相関係数はいくらか。次の①〜⑤のうちから適切なものを一つ選べ。

$0$
$\frac{1}{2}$
$\frac{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}{σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}}$
$\frac{σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2}}{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}$
$\frac{σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2}}{2 σ_{1}^{2} + 2 σ_{2}^{2}}$

正解と解説

正解：④

考え方：相関係数は $ρ = Cov [U, V] / \sqrt{V [U] V [V]}$ 。U, V はどちらも X, Y の線形結合なので、共分散の双線形性と「X, Y が独立 ⇒ Cov[X,Y]=0」を使って部品を計算する。

手順1：U, V の分散　独立なので分散は足す（引き算でも足す）。

V [U] = V [X + Y] = V [X] + V [Y] = σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}

V [V] = V [X - Y] = V [X] + {(- 1)}^{2} V [Y] = σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}

手順2：U と V の共分散　分配法則のように展開する。

Cov [U, V] = Cov [X + Y, X - Y]

= Cov [X, X] - Cov [X, Y] + Cov [Y, X] - Cov [Y, Y]

= V [X] - 0 + 0 - V [Y] = σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2}

（平均が 0 なので $Cov [U, V] = E [U V] = E [(X + Y) (X - Y)] = E [X^{2}] - E [Y^{2}]$ と計算しても同じ。）

手順3：相関係数

ρ = \frac{Cov [U, V]}{\sqrt{V [U]} \sqrt{V [V]}} = \frac{σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2}}{\sqrt{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}} \sqrt{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}} = \frac{σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2}}{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}

よって④。

誤答の見分け方

選択肢	誤りの理由
① 0	σ₁² = σ₂² の特別な場合だけ 0 になる。一般には 0 ではない
② 1/2	分散に依存しない定数になる根拠がない
③	分子が和、分母が積。σ₁² = σ₂² = 1 とすると 2 になり、相関係数の範囲 −1〜1 を超えるので即除外
⑤	分母の √(V[U]V[V]) = σ₁² + σ₂² を 2(σ₁² + σ₂²) と誤ったもの（V[U] + V[V] を分母にした形）

ポイント

共分散の展開： $Cov [a X + b Y, c X + d Y] = a c V [X] + (a d + b c) Cov [X, Y] + b d V [Y]$ 。多項式の展開と同じ要領で、 $Cov [X, X] = V [X]$ 。
「和と差」の共分散は $Cov [X + Y, X - Y] = V [X] - V [Y]$ （独立でなくても成り立つ）。頻出なので暗記。
相関係数は −1〜1 に収まる。特殊な値（σ₁² = σ₂² = 1 など）を代入して範囲外なら即除外できる。

〔2〕解答番号 20

次の記述Ⅰ〜Ⅲは確率変数 $U$ と $V$ に関するものである。

Ⅰ. $U$ と $V$ の平均は等しい。
Ⅱ. $σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}$ のときのみ $U$ と $V$ は互いに独立である。
Ⅲ. $σ_{1}^{2}$ と $σ_{2}^{2}$ の値によらず $U$ と $V$ は同じ分布に従う。

記述Ⅰ〜Ⅲに関して、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

Ⅰのみ正しい。
Ⅱのみ正しい。
Ⅲのみ正しい。
ⅠとⅡのみ正しい。
ⅠとⅡとⅢはすべて正しい。

正解と解説

正解：⑤

考え方：〔1〕で求めた平均・分散・共分散をもとに、U, V それぞれの分布と、2つの関係（独立かどうか）を確かめる。鍵は「独立な正規分布の線形結合はやはり正規分布」であること、および「正規分布どうしでは無相関と独立が同値」であること。

Ⅰ（正しい）　期待値は線形。

E [U] = E [X] + E [Y] = 0, E [V] = E [X] - E [Y] = 0

どちらも 0 で等しい。

Ⅲ（正しい）　X, Y は独立な正規分布なので、その線形結合 U, V も正規分布に従う。平均と分散が同じ正規分布は同じ分布である。

U \sim N (0, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}), V \sim N (0, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})

σ₁², σ₂² の値が何であっても、平均 0・分散 σ₁² + σ₂² の同じ正規分布になる。

Ⅱ（正しい）　〔1〕より $Cov [U, V] = σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2}$ 。

σ₁² ≠ σ₂² なら Cov ≠ 0 で相関があるので、独立ではない（独立なら必ず Cov = 0 だから）。
σ₁² = σ₂² なら Cov = 0（無相関）。一般には無相関でも独立とは限らないが、(U, V) は独立な正規変数の線形結合なので2変量正規分布に従い、2変量正規分布では「無相関 ⇔ 独立」が成り立つ。よってこのとき U と V は独立である。

したがって「σ₁² = σ₂² のとき、かつそのときに限り独立」であり、Ⅱの「のみ」も含めて正しい。

以上よりⅠ・Ⅱ・Ⅲすべて正しく、⑤。

誤答の見分け方：Ⅱを誤りと判断してしまう典型は「無相関 ≠ 独立」という一般論だけで切ってしまうこと。正規分布という前提があるので、ここでは無相関から独立が導ける。Ⅲを誤りと判断する典型は「U と V は相関があるのだから別の分布だろう」という混同。「同じ分布に従う」は各変数の周辺分布の話であり、2つの変数の間に相関があっても周辺分布は一致しうる。

ポイント

正規分布の再生性：独立な $X \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ , $Y \sim N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ に対し $a X + b Y \sim N (a μ_{1} + b μ_{2}, a^{2} σ_{1}^{2} + b^{2} σ_{2}^{2})$ 。
一般：独立 ⇒ 無相関（逆は不成立）。正規分布（2変量正規）に限り：無相関 ⇔ 独立。
「同じ分布に従う」（周辺分布が等しい）と「独立」は別の概念。相関があっても同じ分布はありうる。

問10（解答番号 21・22）

確率変数 $X_{1}, \dots, X_{n}$ は互いに独立に標準正規分布に従うものとし、

W_{n} = X_{1}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

とする。

〔1〕解答番号 21

$W_{1} \geq w$ となる確率が 0.05 となるような $w$ の値として、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

1.64
1.96
2.71
3.84
5.02

正解と解説

正解：④

考え方：独立な標準正規変数の2乗和 $W_{n}$ は自由度 n のカイ二乗分布に従う。 $W_{1} = X_{1}^{2}$ は自由度1のカイ二乗分布なので、その上側 5% 点を付表3から読めばよい。

手順1：分布の特定

W_{1} = X_{1}^{2} \sim χ^{2} (1)

手順2：付表3を引く　自由度 ν = 1、上側確率 α = 0.05 の欄より、

P (W_{1} \geq 3.84) = 0.05 \Rightarrow w = 3.84

よって④。

別解（標準正規分布表で確認）　 $X_{1}^{2} \geq w$ は $| X_{1} | \geq \sqrt{w}$ と同じことなので、標準正規分布の両側確率に直せる。

P (X_{1}^{2} \geq w) = P (| X_{1} | \geq \sqrt{w}) = 2 \times P (X_{1} \geq \sqrt{w}) = 0.05

P (X_{1} \geq \sqrt{w}) = 0.025 \Rightarrow \sqrt{w} = 1.96 \Rightarrow w = {1.96}^{2} = 3.8416

（付表1より上側確率 0.025 に対応する u は 1.96。）付表3の 3.84 と一致する。

誤答の見分け方

選択肢	正体
① 1.64	標準正規分布の上側 5% 点（片側）。2乗していない
② 1.96	標準正規分布の上側 2.5% 点（両側 5%）。2乗する前の √w の値
③ 2.71	自由度1のカイ二乗分布の上側 10% 点（= 1.64²）。片側 5% を両側扱いにして誤読した値
⑤ 5.02	自由度1のカイ二乗分布の上側 2.5% 点（= 2.24²）

ポイント

独立な標準正規変数 n 個の2乗和は $χ^{2} (n)$ 。特に $Z^{2} \sim χ^{2} (1)$ 。
χ²(1) の上側 α 点は、標準正規分布の上側 α/2 点の2乗： ${1.96}^{2} = 3.84$ 、 ${1.645}^{2} = 2.71$ 。この対応を知っていれば表なしでも解ける。
「2乗が w 以上」は「絶対値が √w 以上」＝両側。片側と両側の取り違えに注意。

〔2〕解答番号 22

$W_{n} \geq 2 n$ となる確率が 0.05 未満となるような最小の $n$ はいくらか。次の①〜⑤のうちから適切なものを一つ選べ。

正解と解説

正解：②

考え方： $W_{n} \sim χ^{2} (n)$ 。「 $P (W_{n} \geq 2 n) < 0.05$ 」は、「2n が自由度 n のカイ二乗分布の上側 5% 点 $χ_{0.05}^{2} (n)$ より大きい」ことと同じである（上側 5% 点より右にある値の上側確率は 5% 未満）。したがって付表3の α = 0.05 の列と 2n を自由度ごとに比較すればよい。

P (W_{n} \geq 2 n) < 0.05 \Leftrightarrow 2 n > χ_{0.05}^{2} (n)

計算手順　付表3（α = 0.05 の列）より選択肢の n について比較する。

n	2n	χ²₀.₀₅(n)（付表3）	2n > χ²₀.₀₅(n)？	P(Wₙ ≥ 2n)
3	6	7.81	いいえ	0.05 より大きい
7	14	14.07	いいえ（わずかに届かない）	0.05 よりわずかに大きい
8	16	15.51	はい	0.05 未満
13	26	22.36	はい	0.05 未満
18	36	28.87	はい	0.05 未満
30	60	43.77	はい	0.05 未満

n = 3 では 2n = 6 が上側 5% 点 7.81 に届かず、確率は 0.05 を超える。n = 8 では 2n = 16 が 15.51 を超えるので確率は 0.05 未満になる。n = 7 では 14 < 14.07 でぎりぎり条件を満たさないので、条件を満たす真の最小値も 8 である。よって②。

なぜ n が大きいほど条件を満たしやすいか　 $E [W_{n}] = n$ 、 $V [W_{n}] = 2 n$ なので、2n は平均から標準偏差の $(2 n - n) / \sqrt{2 n} = \sqrt{n / 2}$ 倍だけ右にある。n が大きいほどこの倍率が大きくなり、2n を超える確率は小さくなる。だから「最小の n」を探す問題として成立している。

正規近似での目安：n = 8 なら $\sqrt{8 / 2} = 2$ で、付表1より P(Z ≥ 2) = 0.0228 < 0.05。ただし n が小さいカイ二乗分布は右に歪んでいて正規近似は粗い（n = 7 では近似だと 0.05 未満に見えるが、実際は表のとおりわずかに超える）ので、最終判断は付表3で行う。

誤答の見分け方：① 3 は「χ²(3) の 5% 点 7.81 と 2n = 6」の大小を逆に読んだもの。③④⑤ は条件を満たすが「最小」ではない。選択肢の中で条件を満たす最小のものを答える問題なので、条件を満たす n をすべて確認したうえで最小を選ぶ。

ポイント

$χ^{2} (n)$ の期待値は n、分散は 2n。
「P(W ≥ c) < α」⇔「c > 上側 α 点」。表の値との大小比較に置き換える。
カイ二乗分布は n が大きくなると正規分布に近づくが、小さい n では右に裾を引く。境界ぎりぎりの判定には必ず付表を使う。

問11（解答番号 23）

ある都道府県で、喫茶店を営む事業所の年間売上高の母平均を調べるため、標本調査を行うことにした。この都道府県には喫茶店を営む事業所が 5,000 事業所以上あり、過去の調査で年間売上高の母変動係数は 0.4 と分かっているとする。95%の確率で年間売上高の平均の相対誤差（誤差率、(推定値 − 真値)/真値）を ±5% 以下に抑えるには少なくとも何事業所調査すればよいか。次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

解答番号 23

110事業所
160事業所
210事業所
260事業所
310事業所

正解と解説

正解：④

考え方：標本サイズの決定問題である。標本平均 $\bar{x}$ の標準誤差は $σ / \sqrt{n}$ なので、母集団が十分大きければ（5,000 以上なので有限母集団修正は不要）、95%の確率で誤差 | $\bar{x}$ − μ| が e 以下になる条件は

1.96 \times \frac{σ}{\sqrt{n}} \leq e

である。ここでは「相対誤差 ±5%」なので、両辺を μ で割って変動係数 $CV = σ / μ$ で書き直す。

1.96 \times \frac{σ / μ}{\sqrt{n}} \leq 0.05 \Leftrightarrow n \geq {(\frac{1.96 \times CV}{0.05})}^{2}

計算：付表より、標準正規分布の上側 2.5% 点は 1.96（両側で 95%）。

n \geq {(\frac{1.96 \times 0.4}{0.05})}^{2} = {(\frac{0.784}{0.05})}^{2} = {15.68}^{2} = 245.86

したがって少なくとも 246 事業所必要である。選択肢のうち 246 以上で最小のものは 260 事業所なので ④。

誤答の見分け方：

選択肢	どう間違えると出るか
③ 210	245.86 を「およそ 250」と丸めて、それより小さい 210 を選ぶと精度が足りない。「少なくとも」なので必要数を上回る最小の選択肢を選ぶ
② 160	1.645（片側 5% 点）を使うと (1.645×0.4/0.05)² = 173 となり、これでも 160 では不足。両側 95% は 1.96
① 110	2乗を忘れる、または 1.96 を掛け忘れると (0.4/0.05)² = 64 などの小さい値になる

ポイント 標本サイズの公式

n \geq {(z_{α / 2} σ / e)}^{2}

。「相対誤差」「変動係数」で与えられたら σ→CV、e→相対誤差率に読み替えるだけ。結果は切り上げ、選択肢では必要数以上の最小値を選ぶ。母集団が十分大きい（数千以上）なら有限母集団修正は無視してよい。

問12（解答番号 24・25・26・27）

NHK による2015年国民生活時間調査によると、無作為に抽出された小学生333人の平日の睡眠時間の平均は8時間35分、標準偏差は1時間2分であった。

〔1〕解答番号 24

小学生333人の平日の平均睡眠時間（分単位）の標準誤差はいくらか。次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

$\sqrt{62}$
62
$\frac{\sqrt{62}}{\sqrt{333}}$
$\frac{62}{\sqrt{333}}$
$\frac{62}{333}$

正解と解説

正解：④

考え方：標本平均の標準誤差（standard error）は「標本平均の標準偏差」であり、標準偏差 s、標本サイズ n に対して

SE = \frac{s}{\sqrt{n}}

である。分単位にすると 1時間2分 = 62 分、n = 333 なので

SE = \frac{62}{\sqrt{333}} = \frac{62}{18.25} \approx 3.40 （分）

よって ④。

誤答の見分け方：① √62 と ③ √62/√333 は「標準偏差＝分散の平方根」を二重に取った形（62 はすでに標準偏差）。② 62 は個々の睡眠時間の標準偏差であって平均の標準誤差ではない。⑤ 62/333 は分散 62² を n で割った値 62²/333 を平方根せず、かつ桁が合っていない。

ポイント 平均の標準誤差は

s / \sqrt{n}

（分散なら

s^{2} / n

）。「標準偏差が与えられているのか、分散が与えられているのか」を最初に確認する。

〔2〕解答番号 25

全国の小学生の平均睡眠時間（母平均）を μ とする。μ の90%信頼区間として、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

［6時間33分, 10時間37分］
［6時間53分, 10時間17分］
［8時間12分, 8時間58分］
［8時間16分, 8時間34分］
［8時間29分, 8時間41分］

正解と解説

正解：⑤

考え方：n = 333 は十分大きいので、母分散未知でも標本標準偏差を代用して正規近似で信頼区間を作ってよい（t 分布の自由度 332 の値も付表の ∞ 行とほぼ同じ 1.645 である）。90% 信頼区間は

\bar{x} \pm z_{0.05} \times \frac{s}{\sqrt{n}}

計算：付表より標準正規分布の上側 5% 点は 1.645（Q(1.64) = 0.0505、Q(1.65) = 0.0495 の中間）。〔1〕より標準誤差は 3.40 分。8時間35分 = 515 分。

1.645 \times 3.40 \approx 5.59 （分）

515 - 5.59 = 509.4, 515 + 5.59 = 520.6

509.4 分 = 8時間29.4分、520.6 分 = 8時間40.6分。したがって［8時間29分, 8時間41分］の ⑤ が最も近い。

誤答の見分け方：

選択肢	どう間違えると出るか
① ±122分	515 ± 1.96×62：標準誤差ではなく標準偏差 62 をそのまま使い、さらに 95% の 1.96 を使った
② ±102分	515 ± 1.645×62：標準偏差 62 を √n で割り忘れた
③ ±23分	1.645×√(62²/333)… ではなく、標準誤差を約 14 と誤るなど計算ミス。幅が 46 分は広すぎる
④ ［8:16, 8:34］	中心が 8時間25分で、標本平均 8時間35分を含まない。信頼区間は必ず標本平均を中心にとる

ポイント 大標本（目安 n ≥ 30）の母平均の信頼区間は

\bar{x} \pm z_{α / 2} s / \sqrt{n}

。90%→1.645、95%→1.96、99%→2.576 は暗記。時間の問題は分に直して計算し、最後に時・分へ戻す。

〔3〕解答番号 26

次の記述Ⅰ〜Ⅲは μ の推定および信頼区間に関するものである。

Ⅰ. 平均睡眠時間の調査結果（8時間35分）は、μ の不偏推定値である。
Ⅱ. μ の95%信頼区間の幅は、90%信頼区間の幅よりも狭い。
Ⅲ. 333人の調査結果の中からさらに111人の結果を無作為に抽出して作成された μ の90%信頼区間の幅は、333人の調査結果から求められた90%信頼区間の幅のおよそ3倍になる。

記述Ⅰ〜Ⅲに関して、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

Ⅰのみ正しい。
Ⅱのみ正しい。
Ⅲのみ正しい。
ⅡとⅢのみ正しい。
ⅠとⅡとⅢはすべて正しい。

正解と解説

正解：①

Ⅰ（正しい）：無作為標本の標本平均 $\bar{x}$ は $E [\bar{x}] = μ$ を満たすので、μ の不偏推定量である。その実現値 8時間35分は不偏推定値である。

Ⅱ（誤り）：信頼区間の幅は $2 z_{α / 2} s / \sqrt{n}$ 。95% では z = 1.96、90% では z = 1.645 なので、95% 信頼区間の方が広い。信頼係数を上げるほど区間は広がる。

Ⅲ（誤り）：幅は $1 / \sqrt{n}$ に比例する。n を 333 から 111 へ 1/3 にすると

\frac{\sqrt{333}}{\sqrt{111}} = \sqrt{3} \approx 1.73

倍になるのであって、3 倍にはならない。

したがってⅠのみ正しく、①。

ポイント 信頼区間の幅は「信頼係数を上げると広がる」「n を k 倍にすると 1/√k 倍になる」。標本平均は母平均の不偏推定量（

E [\bar{x}] = μ

）。この3点は繰り返し出題される。

〔4〕解答番号 27

同じ調査で、無作為に抽出された中学生359人の平日の睡眠時間の平均は7時間48分、標準偏差は1時間40分であった。全国の小学生と中学生の睡眠時間の分散（母分散）が等しいかどうかを検定したい。小学生と中学生の睡眠時間が独立に正規分布に従っていると仮定し、中学生の睡眠時間の不偏分散を小学生の睡眠時間の不偏分散で割った F 統計量を用いて仮説検定を行うとき、F 統計量の分布の自由度はいくらか。次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

(1, 1)
(358, 332)
(359, 332)
(358, 333)
(359, 333)

正解と解説

正解：②

考え方：正規母集団から独立に取った2標本の不偏分散 $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ （標本サイズ $n_{1}, n_{2}$ ）について、母分散が等しい（ $σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}$ ）とき

F = \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \sim F (n_{1} - 1, n_{2} - 1)

となる。自由度は「分子の自由度、分母の自由度」の順に書く。

計算：分子は中学生（n = 359）なので自由度 359 − 1 = 358、分母は小学生（n = 333）なので自由度 333 − 1 = 332。よって (358, 332) の ②。

誤答の見分け方：③〜⑤は「n − 1 を忘れた」パターン。分子・分母の順序を逆にした (332, 358) は選択肢にないが、問題文の「中学生を小学生で割る」を読み落とさないこと。① (1, 1) は一元配置分散分析の群数などと混同したもの。

ポイント 等分散性の F 検定：

F = s_{1}^{2} / s_{2}^{2} \sim F (n_{1} - 1, n_{2} - 1)

。不偏分散の自由度は n − 1。分子→分母の順。

問13（解答番号 28・29）

次の2元クロス集計表は、12〜18歳の男女合計100人に、菓子 A が好きかどうかを尋ねたアンケートの結果をまとめたものである。性別によって菓子 A の好みに違いがあるかどうかを調べるため、独立性の検定を行いたい。

	A が好き	A が嫌い
男子	19	30
女子	8	43

〔1〕解答番号 28

男子で菓子 A が好きであると答える期待度数として、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

13.23
13.77
23.23
35.77
37.23

正解と解説

正解：①

考え方：独立性の検定では、「性別と好みが独立」という帰無仮説のもとでの期待度数を

E_{i j} = \frac{(行 i の合計) \times (列 j の合計)}{総数 N}

で求める。まず周辺度数を書き足す。

	A が好き	A が嫌い	計
男子	19	30	49
女子	8	43	51
計	27	73	100

計算：男子の合計 49、「A が好き」の合計 27、総数 100 なので

E_{男・好き} = \frac{49 \times 27}{100} = \frac{1323}{100} = 13.23

よって ①。

誤答の見分け方：選択肢はすべて他のセルの期待度数である。② 13.77 = 51×27/100（女子・好き）、④ 35.77 = 49×73/100（男子・嫌い）、⑤ 37.23 = 51×73/100（女子・嫌い）。③ 23.23 は該当セルなし。「どのセルを聞かれているか」を取り違えないこと。

参考（検定統計量まで計算すると）：

χ^{2} = \frac{{(19 - 13.23)}^{2}}{13.23} + \frac{{(30 - 35.77)}^{2}}{35.77} + \frac{{(8 - 13.77)}^{2}}{13.77} + \frac{{(43 - 37.23)}^{2}}{37.23}

= 2.516 + 0.931 + 2.418 + 0.894 = 6.76

付表より χ²(1) の上側 5% 点は 3.84、上側 1% 点は 6.63 なので、有意水準 5% でも 1% でも「性別と好みは独立」という帰無仮説は棄却される。

ポイント 期待度数 = 行計 × 列計 ÷ 総数。2×2 表では 4 つの O − E の絶対値がすべて等しくなる（ここでは 5.77）ので検算に使える。

〔2〕解答番号 29

独立性の検定の棄却域を求めるときのカイ二乗分布の自由度はいくつか。次の①〜⑤のうちから適切なものを一つ選べ。

正解と解説

正解：②

考え方：r 行 c 列のクロス集計表に対する独立性の検定の自由度は

(r - 1) (c - 1)

である。周辺度数（行計・列計）を固定すると、自由に決められるセルの個数がこれになる。

計算：2 行 2 列なので (2 − 1)(2 − 1) = 1。よって ②。

誤答の見分け方：⑤ 4 はセル数 rc、④ 3 はセル数 − 1（rc − 1、これは適合度検定で「カテゴリ数 − 1」とする場合の考え方）と混同したもの。独立性の検定は周辺度数を推定に使う分、さらに自由度が減って (r−1)(c−1) になる。

ポイント 独立性の検定の自由度 = (行数 − 1)(列数 − 1)。適合度検定は「カテゴリ数 − 1 −（推定した母数の数）」。2×2 表なら自由度は必ず 1 で、χ²(1) の 5% 点 3.84 は暗記しておく。

問14（解答番号 30・31・32）

コンビニエンスストアチェーン X 社は、ある都市の4つの異なる地域で5店舗ずつ計20店舗を展開している。地域ごとの売上げの違いを調べるため、昨年度の売上げデータを用いて地域を要因とする一元配置分散分析を行った結果、次の表を得た。

分散分析表

要因	平方和	自由度	平均平方	F 値	P(> F)
地域	0.2204	（ア）	（ウ）	（オ）	0.0405
残差	0.3370	（イ）	（エ）

〔1〕解答番号 30

この20店舗の売上げの標本分散（不偏分散）はいくらか。次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

0.0293
0.0728
0.0945
0.5574
6.0532

正解と解説

正解：①

考え方：分散分析では全変動が「要因（群間）平方和」と「残差（群内）平方和」に分解される。

総平方和 = 地域の平方和 + 残差の平方和

総平方和は $\sum {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$ そのものなので、全 20 店舗の不偏分散は総平方和を N − 1 = 19 で割ればよい。

計算：

総平方和 = 0.2204 + 0.3370 = 0.5574

s^{2} = \frac{0.5574}{20 - 1} = \frac{0.5574}{19} = 0.02934

よって ①。

誤答の見分け方：④ 0.5574 は総平方和のまま（19 で割っていない）。② 0.0728 = 0.2204/3 は「地域」の平均平方（ウ）で、〔2〕の値と混同したもの。③ 0.0945 ≈ 0.5574/5.9 などの計算ミス。⑤ 6.0532 は桁違い。

ポイント 総平方和 = 要因平方和 + 残差平方和、総自由度 = N − 1 = 要因自由度 + 残差自由度。「全体の不偏分散」を聞かれたら総平方和 ÷ (N − 1)。

〔2〕解答番号 31

表の（ア）〜（オ）にあてはまる値の組合せとして、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

（ア）4　（イ）16　（ウ）0.05510　（エ）0.02106　（オ）0.382
（ア）4　（イ）19　（ウ）0.05510　（エ）0.01774　（オ）0.322
（ア）4　（イ）19　（ウ）0.05510　（エ）0.01774　（オ）3.270
（ア）3　（イ）16　（ウ）0.07347　（エ）0.02106　（オ）0.280
（ア）3　（イ）16　（ウ）0.07347　（エ）0.02106　（オ）3.488

正解と解説

正解：⑤

考え方：一元配置分散分析表の各欄は次の関係で埋まる（群数 k、総データ数 N）。

要因	平方和	自由度	平均平方	F 値
要因（群間）	SS_A	k − 1	MS_A = SS_A/(k − 1)	F = MS_A/MS_E
残差（群内）	SS_E	N − k	MS_E = SS_E/(N − k)
全体	SS_T = SS_A + SS_E	N − 1

計算：k = 4 地域、N = 20 店舗。

（ア） = k - 1 = 4 - 1 = 3

（イ） = N - k = 20 - 4 = 16

（ウ） = \frac{0.2204}{3} = 0.07347

（エ） = \frac{0.3370}{16} = 0.02106

（オ） = \frac{0.07347}{0.02106} = 3.488

よって ⑤。自由度の合計 3 + 16 = 19 = N − 1 になっていることも確認できる。

誤答の見分け方：

選択肢	どう間違えると出るか
①〜③（ア）4	群数 k をそのまま自由度にした。正しくは k − 1
②③（イ）19	残差自由度を N − 1 とした。N − 1 は「全体」の自由度で、残差は N − k
④（オ）0.280	F を MS_E/MS_A と逆に割った。F は必ず「要因の平均平方 ÷ 残差の平均平方」で、P 値 0.0405 が 5% を下回っているのだから F は 1 よりずっと大きいはず

P 値との整合：付表より F_0.05(3, 15) = 3.287、F_0.05(3, 20) = 3.098 なので F_0.05(3, 16) はおよそ 3.24。F = 3.488 はこれを超えているので P 値 < 0.05 となり、表の 0.0405 と整合する。

ポイント 分散分析表は「平方和 ÷ 自由度 = 平均平方」「F = 要因の平均平方 ÷ 残差の平均平方」の2本の割り算で埋まる。自由度は要因 k − 1、残差 N − k、合計 N − 1。P 値が小さいなら F は 1 より大きい、という感覚で検算する。

〔3〕解答番号 32

この4つの地域における売上げの母平均をそれぞれ μ₁, μ₂, μ₃, μ₄ とする。上の分散分析表に基づき有意水準5%で検定を行ったときの記述として、次の①〜④のうちから最も適切なものを一つ選べ。

帰無仮説を H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄、対立仮説を H₁: μ₁, μ₂, μ₃, μ₄ のうち少なくとも1つは異なる、として有意水準5%で検定を行うと、帰無仮説は棄却され、4つの各地域の売上げの平均のうち少なくとも1つは異なっていると結論できる。
帰無仮説を H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄、対立仮説を H₁: μ₁, μ₂, μ₃, μ₄ のうち少なくとも1つは異なる、として有意水準5%で検定を行うと、帰無仮説は棄却できない。
帰無仮説を H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄、対立仮説を H₁: μ₁, μ₂, μ₃, μ₄ のすべてが異なる、として有意水準5%で検定を行うと、帰無仮説は棄却され、4つの各地域の売上げの平均はすべて異なっていると結論できる。
帰無仮説を H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄、対立仮説を H₁: μ₁, μ₂, μ₃, μ₄ のすべてが異なる、として有意水準5%で検定を行うと、帰無仮説は棄却できない。

正解と解説

正解：①

考え方：一元配置分散分析の仮説は

H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = μ_{3} = μ_{4}, H_{1} : 少なくとも1つは異なる

である。「すべてが異なる」を対立仮説にすることはできない（H₀ の否定は「少なくとも1組は等しくない」であって「すべて違う」ではない）。したがって ③④ は仮説の立て方の時点で誤り。

判定：表の P 値は 0.0405 で有意水準 0.05 より小さい。また〔2〕で求めた F = 3.488 は F_0.05(3, 16) ≈ 3.24（付表の (3,15)=3.287 と (3,20)=3.098 の補間）より大きい。どちらで見ても帰無仮説は棄却され、「4 地域の平均のうち少なくとも1つは異なる」と結論できる。よって ①。

誤答の見分け方：② は P 値 0.0405 > 0.05 と誤読したもの（0.0405 は 0.05 より小さい）。③ は仮説も結論も誤りで、分散分析は「どの地域が」「すべてが」異なるとは言えない。

ポイント 分散分析の対立仮説は「少なくとも1つは異なる」。棄却されても「全部違う」「どれが違う」は言えない（それは多重比較の仕事）。判定は P 値 < α、または F > F_α(k−1, N−k)。

問15（解答番号 33・34・35）

Benjamin F. Jones and Bruce A. Weinberg (2011, "Age dynamics in scientific creativity," PNAS, 108(47), 18910–18914) は、ノーベル賞（物理学、化学、生理学・医学）の受賞者525人のデータを用いて以下のような重回帰モデルを推定し、検証した。

最盛期年齢 = α + β_{1} \times 最高学位取得年齢 + β_{2} \times 理論研究ダミー + 誤差項

ここで「最盛期年齢」はノーベル賞受賞者が最も盛んに研究を行っていた年齢（推計値）、「最高学位取得年齢」は最高学位（通常は博士号）を取得した年齢、「理論研究ダミー」はノーベル賞の対象となった研究が理論研究の場合に1、応用研究の場合に0をとるダミー変数である。統計ソフトウェアを利用して、「最盛期年齢」、「最高学位取得年齢」、「理論研究ダミー」に対応する変数 Age, PhDAge, Theoretical を作成し、上記の重回帰モデルを推定したところ、次のような出力結果が得られた。なお出力結果の (Intercept) は定数項 α を意味している。

出力結果

Call:
lm(formula = Age ~ PhDAge + Theoretical)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max
-18.611  -5.915  -0.826   4.870  39.566

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  31.9271     2.8117  11.355  < 2e-16 ***
PhDAge        0.3038     0.1064   2.856  0.00446 **
Theoretical  -4.4339     0.9355  -4.740 2.77e-06 ***

Residual standard error: 8.312 on 522 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.05745,    Adjusted R-squared:  0.05384
F-statistic: 15.91 on 2 and 522 DF,  p-value: 1.965e-07

この出力結果について、以下の問いに答えよ。

〔1〕解答番号 33

28歳で博士号を取得して理論物理学の研究でノーベル物理学賞を受賞する研究者が将来現れるとする。この受賞者の研究者としての最盛期年齢の推計値として、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

34歳
36歳
38歳
40歳
42歳

正解と解説

正解：②

考え方：推定された回帰式は Estimate 列を読んで

\hat{Age} = 31.9271 + 0.3038 \times PhDAge - 4.4339 \times Theoretical

である。理論物理学の研究なので Theoretical = 1、博士号取得年齢 PhDAge = 28 を代入する。

計算：

0.3038 \times 28 = 8.5064

\hat{Age} = 31.9271 + 8.5064 - 4.4339 = 35.9996 \approx 36

よって 36 歳の ②。

誤答の見分け方：④ 40 歳は Theoretical = 0 のまま（ダミーを入れ忘れた）ときの 31.9271 + 8.5064 = 40.4。① 34 歳・③ 38 歳はダミー係数の符号を取り違えるなどの計算ミス。ダミー変数は「該当すれば 1」を代入して係数を丸ごと足す（引く）。

ポイント 予測値は Estimate 列を回帰式に並べて代入するだけ。ダミー変数は該当するとき 1、しないとき 0。係数の符号（ここでは −4.4339）を落とさないこと。

〔2〕解答番号 34

有意水準5%で有意に正となるパラメータの組合せとして、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

α, β₁, β₂
β₁, β₂
α, β₁
α, β₂
β₁

正解と解説

正解：③

考え方：各係数について H₀: 係数 = 0 の t 検定の結果が t value と Pr(>|t|) 列である。「有意に正」なので、(1) P 値 < 0.05 で有意、かつ (2) 推定値（t 値）の符号が正、の2条件をともに満たすものを選ぶ。

パラメータ	Estimate	t value	Pr(>\|t\|)	5%で有意？	符号	有意に正？
α (Intercept)	31.9271	11.355	< 2×10⁻¹⁶	有意	正	○
β₁ (PhDAge)	0.3038	2.856	0.00446	有意	正	○
β₂ (Theoretical)	−4.4339	−4.740	2.77×10⁻⁶	有意	負	×（有意に負）

β₂ は有意ではあるが負なので除外する。有意に正なのは α と β₁ で ③。

t 値で確認する場合：自由度 522 は付表の ∞ 行とみなしてよく、両側 5% の限界値は t_0.025(∞) = 1.960。|11.355|、|2.856|、|−4.740| はいずれも 1.960 を超えるので3つとも有意。そのうえで符号で選別する。

誤答の見分け方：① は「有意なもの」をすべて選んだもので、「正」の条件を見ていない。⑤ は定数項 α を除外したもので、問題は「パラメータ」として α も含めている。

ポイント 「有意」は Pr(>|t|) < 0.05（または |t| > 約 2）で判断し、「正／負」は Estimate の符号で判断する。「有意に正」「有意に負」と問われたら両方をチェックする。

〔3〕解答番号 35

出力結果から読み取れるノーベル賞受賞者についての情報として、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

理論研究を中心に行う研究者の方が、若くして博士号を取得する傾向が見られる。
若くして博士号を取得した研究者の方が、遅く研究者としての最盛期に達する傾向が見られる。
理論研究を中心に行う研究者の方が、遅く研究者としての最盛期に達する傾向が見られる。
理論研究を中心に行う研究者とそうでない研究者の間に、最盛期に達する平均的な年齢について統計的に有意な差は見られない。
理論研究を中心に行う研究者の方が、早く研究者としての最盛期に達する傾向が見られる。

正解と解説

正解：⑤

考え方：回帰係数は「他の説明変数を固定したときに、その変数が 1 増えると被説明変数（最盛期年齢）が何歳変わるか」を表す。出力結果の読み方をまとめると次のとおり。

出力の項目	意味	この問題での読み
Estimate	回帰係数の推定値	PhDAge が 1 歳遅いと最盛期は 0.30 歳遅い。理論研究だと最盛期が 4.43 歳早い
Std. Error	係数の標準誤差	t value = Estimate ÷ Std. Error
t value / Pr(>\|t\|)	係数 = 0 の検定統計量と P 値	3つとも P < 0.05 で有意
Residual standard error	残差の標準偏差（自由度 n − k − 1 = 525 − 3 = 522）	8.312 歳
Multiple R-squared	決定係数	0.057：最盛期年齢の変動の約 5.7% しか説明できていない
Adjusted R-squared	自由度調整済み決定係数	0.054
F-statistic	H₀: β₁ = β₂ = 0（定数項を除く全係数が 0）の検定	P = 1.965×10⁻⁷ で棄却

各選択肢の検討：

① 誤り。このモデルの被説明変数は「最盛期年齢」であり、「博士号取得年齢」を説明するものではない。理論研究者が若く博士号を取るかどうかは出力から読み取れない。

② 誤り。β₁ = 0.3038 > 0 で有意。博士号取得年齢が高いほど最盛期年齢も高くなる（若く取得した人ほど早く最盛期に達する）ので逆である。

③ 誤り。β₂ = −4.4339 < 0 なので、理論研究者の最盛期年齢は応用研究者より約 4.4 歳早い。「遅く」は逆である。

④ 誤り。β₂ の P 値は 2.77×10⁻⁶ で有意水準 5% でも 1% でも有意。「有意な差は見られない」は誤り。

⑤ 正しい。Theoretical = 1 のとき、PhDAge が同じなら最盛期年齢の推計値は 4.4339 歳小さくなる。これが有意（P = 2.77×10⁻⁶）なので、理論研究者の方が早く最盛期に達する傾向があると言える。

ポイント ダミー変数の係数は「ダミー = 1 の群と 0 の群の、他の変数をそろえたときの平均差」。符号で「早い／遅い」「多い／少ない」を読み、P 値で「有意な差か」を読む。モデルが説明しているのは被説明変数（左辺）だけで、説明変数どうしの関係は読み取れない。

問	解答番号	正解	問	解答番号	正解
問1〔1〕	1	④	問9〔1〕	19	④
問1〔2〕	2	③	問9〔2〕	20	⑤
問2〔1〕	3	③	問10〔1〕	21	④
問2〔2〕	4	②	問10〔2〕	22	②
問2〔3〕	5	⑤	問11	23	④
問3〔1〕	6	③	問12〔1〕	24	④
問3〔2〕	7	②	問12〔2〕	25	⑤
問3〔3〕	8	①	問12〔3〕	26	①
問4〔1〕	9	④	問12〔4〕	27	②
問4〔2〕	10	②	問13〔1〕	28	①
問4〔3〕	11	⑤	問13〔2〕	29	②
問5	12	④	問14〔1〕	30	①
問6	13	③	問14〔2〕	31	⑤
問7〔1〕	14	④	問14〔3〕	32	①
問7〔2〕	15	③	問15〔1〕	33	②
問7〔3〕	16	②	問15〔2〕	34	③
問8〔1〕	17	①	問15〔3〕	35	⑤
問8〔2〕	18	⑤

統計検定2級 2017年6月 問題・正解・解説

この回の問題から見える「解き方のコツ」

1. 箱ひげ図・ヒストグラム・度数分布表は「端の値」と「累積度数」だけで決める（問1・問2）

2. 伸び率・相関係数・回帰直線は「定義に戻す」と一発で決まる（問3〔1〕・問4〔1〕〔2〕）

3. 自由度は「n − 推定したパラメータ数」で数える（問4〔3〕・問12〔4〕・問13〔2〕・問14〔2〕）

4. 確率変数の和と差は「分散は足す・共分散は引く」（問6・問9・問10）

5. 条件付き確率と「第 k 戦で終了」は式を書いてから数字を入れる（問7・問8）

6. 信頼区間・必要標本サイズは「z 値・SE・中心」の3点をチェックする（問11・問12〔1〕〔2〕〔3〕）

7. 回帰出力・分散分析表・記述Ⅰ〜Ⅲは「符号」「対立仮説の言い回し」「因果の断定」を疑う（問3〔2〕・問5・問14〔1〕〔3〕・問15）

問1（解答番号 1・2）

〔1〕解答番号 1

〔2〕解答番号 2

問2（解答番号 3・4・5）

〔1〕解答番号 3

〔2〕解答番号 4

〔3〕解答番号 5

問3（解答番号 6・7・8）

〔1〕解答番号 6

〔2〕解答番号 7

〔3〕解答番号 8

問4（解答番号 9・10・11）

〔1〕解答番号 9

〔2〕解答番号 10

〔3〕解答番号 11

問5（解答番号 12）

解答番号 12

問6（解答番号 13）

解答番号 13

問7（解答番号 14・15・16）

〔1〕解答番号 14

〔2〕解答番号 15

〔3〕解答番号 16

問8（解答番号 17・18）

〔1〕解答番号 17

〔2〕解答番号 18

問9（解答番号 19・20）

〔1〕解答番号 19

〔2〕解答番号 20

問10（解答番号 21・22）

〔1〕解答番号 21

〔2〕解答番号 22

問11（解答番号 23）

解答番号 23

問12（解答番号 24・25・26・27）

〔1〕解答番号 24

〔2〕解答番号 25

〔3〕解答番号 26

〔4〕解答番号 27

問13（解答番号 28・29）

〔1〕解答番号 28

〔2〕解答番号 29

問14（解答番号 30・31・32）

〔1〕解答番号 30

〔2〕解答番号 31

〔3〕解答番号 32

問15（解答番号 33・34・35）

〔1〕解答番号 33

〔2〕解答番号 34

〔3〕解答番号 35

正解一覧

統計検定2級　2017年6月　問題・正解・解説